Периодическое решение нелинейного уравнения

[IgorS]

Здравствуйте, все!
Пусть имеется дифференциальное уравнение:
$\frac {d\, f(y)}{dt} + r\, y(t)= {\sin(t)}$
где $r$ - константа .
Функция $f(y)$ - нечетная, монотонная, гладкая. Она имеет характер подобный функции: $a\,{x} + b \, \operatorname{arcth(x)}$.
Решение ищется в виде тригонометрического полинома методом Галёркина.
Хочется как-то доказать, что величины коэффициентов этого полинома будут обязательно убывающими. Интуитивно кажется, что это так (я не математик).
Можно сформулировать задачу и так:
$\frac {d\, y}{dt} + r\, f^{-1}(y(t))= {\sin(t)}$,
но первая формулировка как-то ближе к решаемой физической задаче.
Заранее благодарен.

[dikiy]

они должны быть убывающими, иначе не будет сходимости решения, которое доказано Докажите существование и единственность решения (теорема Пикара-Линделёффа). А потом уже теорема Галеркина дасть схождение приближений к решению по норме. А раз есть схождение, то коэффициенты будут естественно убывать.

[sup]

Пусть уравнение имеет вид

$$y'(t) + g(y) = \sin t$$

с гладкой функцией $g(\cdot)$, такой, что для некоторых $A,B > 0$

$$Az^2 \leqslant zg(z) \leqslant Bz^2$$

Периодическое решение этого уравнения на интервале $(-\pi,\pi)$ можно записать в виде

$$y(t) = a_0 + \sum \limits_{n \geqslant 1} (a_n\cos nt + b_n \sin nt )$$

Можно показать, что $|a_n|,|b_n| \leqslant C/{n^2}$.
Это верно как для решения задачи, так и для приближений по Галеркину, когда берется лишь конечный кусок ряда.

[IgorS]

Спасибо.

Цитата:

$$Az^2 \leqslant zg(z) \leqslant Bz^2$$

Понятно, гладкая функция между двумя монотонными.
Но у меня функция $g(z)$ должна быть нечетной и монотонной. Хотелось бы использовать эти свойства.

[sup]

Это условие как раз для нечетных и монотонных функций
Ну, например, $g(z) = z$.
На самом деле, те условия, что я написал, весьма далеки от необходимых. Но Ваш случай они вроде бы "закрывают" и достаточно.

[IgorS]

dikiy в сообщении #948586 писал(а):

А раз есть схождение, то коэффициенты будут естественно убывать.

Спасибо, понятно с существованием и единственностью решения.
Хотелось бы уточнить следующее (похоже, что забыл в исходной формулировке): ввиду монотонности нелинейной функции желательно установить факт монотонного убывания коэффициентов (их норм для каждой частоты $\sqrt{a_k^2+b_k^2}$).

-- 18.12.2014, 11:36 --

sup в сообщении #948746 писал(а):

На самом деле, те условия, что я написал, весьма далеки от необходимых. Но Ваш случай они вроде бы "закрывают" и достаточно.

Спасибо большое, но у Вас функции $z^2$, а если у меня $z^3$? - Это частая аппроскимация, которая встречалась в "недалекой древности" при решении близких задач с подобной нелинейностью.
Извините, если что-либо понимаю со скрипом.

[sup]

Хм, у меня в условии функция порядка $g(z) \sim z$. Как я уже говорил, эти условия далеки от необходимых. Пусть будет так
$zg(z) > Az^2$.
Я, почему-то, не написал это сразу.
Дело в том, что поведение на бесконечности вообще не имеет значения, поскольку решения ограничены константой, зависящей от $A$.
Что касается монотонного убывания, то без явного вида нелинейности доказать это, боюсь, не удастся. Примера у меня прямо сейчас нет, но мне кажется, что для некоторых $g(z)$ в решении будут встречаться гармоники с нулевой амплитудой. А значит монотонное убывание амплитуд не получится.

-- Чт дек 18, 2014 16:06:39 --

Да, похоже, для $g(z)$ достаточно лишь $zg(z) \geqslant 0$. Т.е. достаточно просто знакоопределенности. Ну и, конечно, нужна гладкость.

[IgorS]

1. У меня в первом сообщении была ошибка.
Исходная нелинейная функция имеет вид:
$f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$

Цитата:

...поскольку решения ограничены константой, зависящей от $A$.

Понятно, что всегда можно подобрать эту константу, чтобы удовлетворить вышеупомянутым условиям.

Цитата:

А значит монотонное убывание амплитуд не получится.

Да, четные гармоники отсутствуют.
Может быть можно ограничиться доказательством того факта, что при отображении функцией $f(x)$ синусоиды получаются только монотонно затухающие нечетные гармоники?

[sup]

Цитата:

$f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$

Ну и ладно, это ничему не мешает.
Насчет четных/нечетных гармоник. Боюсь, там дело хуже. Может попозже придумаю пример - покажу. Короче, у меня большие сомнения, что в общем случае есть монотонность.
Но, как я понял, Вас общий случай и не интересует. Тогда можно попробовать такой план. Поскольку задача конкретная, то можно навычислять кучу первых гармоник, и убедиться непосредственно. А вот уже для "достаточно больших номеров" попытаться доказать.

[IgorS]

Как раз общий случай и интересует. Вычисление первых гармоник как раз и позволяет убедиться в их затухании от действия рассматриваемого вида функции. Матлаб работает "быстро", и программируется также быстро. Вот и пытаюсь доказать...

[sup]

Когда я говорил про общий случай, то имел в виду именно произвольную нелинейность $g(z)$.
Вы же, если я правильно понимаю, говорите о том, что коэффициенты $a,b$ в формуле $f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$ могут принимать разные (положительные ?) значения. В этом случае Ваша гипотеза может и справедлива.
Увы, я ничего содержательного сказать не могу.

[IgorS]

Да, коэффициенты $a,b$ в данном случае могут быть только положительными, чтобы обеспечить монотонность. В самом простом случае это может быть кубическая парабола. Но с параболами нечетной степени как раз все ясно.