Призма, отношение радиусов шаров.

[Батороев]

Ну, типа того. Только еще соединить $X$ и $T$.

[Skeptic]

Зачем такие сложности? Рассмотрите сечение $AECG$. Прямая $IP$ - гипотенуза прямоугольного треугольника с вписанной малой окружностью (шаром). Надо построить подобный треугольник, описанный вокруг большой окружности (шара).

[Skeptic]

Строить подобный треугольник не надо.
В сечении $AEGC$ надо рассмотреть треугольник $AIP$. Это прямоугольный треугольник с катетом, равным радиусу большого шара. Надо доказать, что один из углов этого треугольника равен $30^\circ$.

[Andrei94]

Skeptic в сообщении #945595 писал(а):

Строить подобный треугольник не надо.
В сечении $AEGC$ надо рассмотреть треугольник $AIP$. Это прямоугольный треугольник с катетом, равным радиусу большого шара. Надо доказать, что один из углов этого треугольника равен $30^\circ$.

А почему с катетом, равным радиусу большого шара? Это катет $AP$ или $IA$? А почему именно $30^\circ$, от чего примерно отталкиваться нужно, с чего начать?

[Skeptic]

Продлите прямую $IP$ до пересечения с вертикальным диаметром большого шара.
Какое условие наложено на эту прямую?
Где расположена точка пересечения?
Проведите радиус большого шара в точку касания касательной.
Рассмотрите углы полученного треугольника.

[Батороев]

Skeptic в сообщении #945513 писал(а):

Зачем такие сложности? Рассмотрите сечение $AECG$. Прямая $IP$ - гипотенуза прямоугольного треугольника с вписанной малой окружностью (шаром). Надо построить подобный треугольник, описанный вокруг большой окружности (шара).

Малый шар не касается грани $AI$, поэтому его след в плоскости, которой принадлежит $AECG$, - не вписанная в треугольник окружность.

[Skeptic]

Батороев, вы правы.

Центр малого шара лежит на перпендикуляре из вершины $A$ на прямую $IP$. Сечение малого шара в плоскости $AECG$ касается секущей плоскости и основания пирамиды (призмы).

[Skeptic]

Проведём линию, параллельную $IP$ и касающуюся окружности большого круга. Продолжим стороны $AI$ и $IP$ треугольника $AIP$ до пересечения с построенной линией, касающуюсейся окружности большого круга. Получим треугольник, подобный треугольнику $AIP$. Стороны этого треугольника в пять раз больше сторон треугольника $AIP$. Следовательно, отношение радиуса большого и малого шара равно $R=5r$.