2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кочин. Внутренние волны.
Сообщение05.12.2014, 18:34 


06/06/11
60
Добрый день готовлю доклад по внутренним волнам, за основу решил взять учебник:

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. - Теоретическая гидромеханика. Часть 1 - 1963.
Пытаюсь разобраться в соответствующем параграфе на странице 439, но решительно ничего не получается.
Сейчас я попытаюсь изложить суть проблемы:

Итак мы рассматриваем плоские волны которые обитают на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности.
Плотность верхней - $\rho$
Плотность нижней - $\rho'$

Пусть волны распространяются $Oxy$
Тогда направим ось $z$ вертикально, а ось $x$ горизонтально, и будем рассматривать процесс колебания в плоскости $Oxz$.

Верхняя жидкость ограничена сверху плоскостью $z=h'$. А нижняя ограничена/$z=h$.

Действует следующее предположение:
При отсутствии волн жидкость движется поступательно параллельно оси $Ox$ со скоростью $U'$ - верхняя и $U$, при отсутствии волн потенциалы скоростей верхней и нижней жидкости равны соответственно:

$$\varphi'=U'x$$
$$\varphi=Ux$$

при наличии волн к этим потенциалам добавятся еще потенциалы прогрессивных волн.

$$\varphi=Ux+С \ch(k(z+h))\sin(kx-\sigma t)$$
$$\varphi'=U'x+C'\ch(k(z-h'))\sin(kx-\sigma t)$$

Будем рассматривать волны определенной дилнны $\lambda$ тогда $$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

Тогда необходимо найти 3 константы, $C,C',\sigma$

Как находятся первые 2 я более или менее понимаю, но вот $\sigma$ находится из условия равенства давления $\rho$ и $\rho'$ на границе раздела 2х жидкостей при этом, для нахождения давления используется интеграл Коши-Лагранжа, который для жидкости которая движется в поле силы тяжести вообще равен:

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{\operatorname{grad}(\varphi)^2}{2}+\frac{P}{\rho}+\rho gz=f(t)$$

В книге же $f(t)$ приравнена константе. Почему это так?

Смотрим дальше, преобразуем эту формулу, получим следующее выражение:

$$P=-\rho\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{1}{2}\rho v^2- \rho gz +\operatorname{const}$$

В нашем случае
$$v^2=v^2_x+v^2_z=(\frac{\partial \varphi}{\partial x})^2+(\frac{\partial \varphi}{\partial z})^2$$

Подставляем выражения для $\varphi$
$$U^2+2UCk \ch(k(z+h))\cos(kx-\sigma t)+C^2k^2[\ch^2(k(z+h))\cos^2(kx-\sigma t)+\sh^2(k(z+h))\sin^2(kx-\sigma t)]$$

Теперь в учебнике говорят волшебные слова "$C$ – бесконечно малая тогда $C^2$ можно пренебречь; в предпоследнем члене для $z=\zeta$ заменить $z$ на $0$,так кака этот член уже содержет бесконечно малую $C$,также при
Вычислении $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$. Поэтому

$$(P)_{z=\zeta}=C\rho \ch(kh)\cos(kx-\sigma t)-\frac{1}{2}\rho U^2-Uck \rho ga\cos(kx-\sigma t)+\operatorname{const}$$

Тут тоже возникает вопрос почему $C$ - бесконечно малое? И не совсем понятно почему $z$ приравневается к $0$.

$$(P')_{z=\zeta}=C'\rho' \ch(kh')\cos(kx-\sigma t)-\frac{1}{2}\rho' U'^2-UC'k \rho' ga\cos(kx-\sigma t)+\operatorname{const}$$

Далее творится вообще что-то непонятное:

В учебнике эти выражения приравниваются и получается волшебство

$$C \rho(\sigma-kU)\ch(kh)-\rho ga=C' \rho'(\sigma-kU')-\rho' ga$$

Во первых там косинус гиперболический пропущен, по моему, но даже если с ним то...

Как это плучается? Куда делись константы? Куда делись $\frac{1}{2}\rho U^2$ и $\frac{1}{2}\rho' U'^2$? Они не могут сократится! Что произошло? Я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кочин. Внутренние волны.
Сообщение17.12.2014, 22:17 


12/02/14
808
1) $f(t)$ можно сделать константой, прибавив к потенциалу подходящую функцию только от времени, что не влияет на поле скоростей. Это примерно то же, что калибровочная инвариантность в электродинамике.
2) "Волшебная фраза" "$C$ бесконечно малое" означает, что мы линеаризуем уравнения для волновых возмущений потока около невозмущённого решения, поэтому все члены кроме линейных отбрасываются и само условие равенства давлений сносится на невозмущённую границу $z=0$. Это похоже на вывод линеаризованного волнового уравнения струны или мембраны, уравнений Якоби вариаций геодезических и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group