Добрый день готовлю доклад по внутренним волнам, за основу решил взять учебник:
Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. - Теоретическая гидромеханика. Часть 1 - 1963.
Пытаюсь разобраться в соответствующем параграфе на странице 439, но решительно ничего не получается.
Сейчас я попытаюсь изложить суть проблемы:
Итак мы рассматриваем плоские волны которые обитают на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности.
Плотность верхней -

Плотность нижней -

Пусть волны распространяются
Тогда направим ось

вертикально, а ось

горизонтально, и будем рассматривать процесс колебания в плоскости

.
Верхняя жидкость ограничена сверху плоскостью

. А нижняя ограничена/

.
Действует следующее предположение:
При отсутствии волн жидкость движется поступательно параллельно оси

со скоростью

- верхняя и

, при отсутствии волн потенциалы скоростей верхней и нижней жидкости равны соответственно:


при наличии волн к этим потенциалам добавятся еще потенциалы прогрессивных волн.


Будем рассматривать волны определенной дилнны

тогда

Тогда необходимо найти 3 константы,

Как находятся первые 2 я более или менее понимаю, но вот

находится из условия равенства давления

и

на границе раздела 2х жидкостей при этом, для нахождения давления используется интеграл Коши-Лагранжа, который для жидкости которая движется в поле силы тяжести вообще равен:

В книге же

приравнена константе. Почему это так?
Смотрим дальше, преобразуем эту формулу, получим следующее выражение:

В нашем случае

Подставляем выражения для

![$$U^2+2UCk \ch(k(z+h))\cos(kx-\sigma t)+C^2k^2[\ch^2(k(z+h))\cos^2(kx-\sigma t)+\sh^2(k(z+h))\sin^2(kx-\sigma t)]$$ $$U^2+2UCk \ch(k(z+h))\cos(kx-\sigma t)+C^2k^2[\ch^2(k(z+h))\cos^2(kx-\sigma t)+\sh^2(k(z+h))\sin^2(kx-\sigma t)]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/9/8b942a1c6d906d743d1965e5cf0e35cd82.png)
Теперь в учебнике говорят волшебные слова "

– бесконечно малая тогда

можно пренебречь; в предпоследнем члене для

заменить

на

,так кака этот член уже содержет бесконечно малую

,также при
Вычислении

. Поэтому

Тут тоже возникает вопрос почему

- бесконечно малое? И не совсем понятно почему

приравневается к

.

Далее творится вообще что-то непонятное:
В учебнике эти выражения приравниваются и получается волшебство

Во первых там косинус гиперболический пропущен, по моему, но даже если с ним то...
Как это плучается? Куда делись константы? Куда делись

и

? Они не могут сократится! Что произошло? Я не понимаю.