Кочин. Внутренние волны.

[Firth]

Добрый день готовлю доклад по внутренним волнам, за основу решил взять учебник:

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. - Теоретическая гидромеханика. Часть 1 - 1963.
Пытаюсь разобраться в соответствующем параграфе на странице 439, но решительно ничего не получается.
Сейчас я попытаюсь изложить суть проблемы:

Итак мы рассматриваем плоские волны которые обитают на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности.
Плотность верхней - $\rho$
Плотность нижней - $\rho'$

Пусть волны распространяются $Oxy$
Тогда направим ось $z$ вертикально, а ось $x$ горизонтально, и будем рассматривать процесс колебания в плоскости $Oxz$.

Верхняя жидкость ограничена сверху плоскостью $z=h'$. А нижняя ограничена/$z=h$.

Действует следующее предположение:
При отсутствии волн жидкость движется поступательно параллельно оси $Ox$ со скоростью $U'$ - верхняя и $U$, при отсутствии волн потенциалы скоростей верхней и нижней жидкости равны соответственно:

$$\varphi'=U'x$$

$$\varphi=Ux$$

при наличии волн к этим потенциалам добавятся еще потенциалы прогрессивных волн.

$$\varphi=Ux+С \ch(k(z+h))\sin(kx-\sigma t)$$

$$\varphi'=U'x+C'\ch(k(z-h'))\sin(kx-\sigma t)$$

Будем рассматривать волны определенной дилнны $\lambda$ тогда

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

Тогда необходимо найти 3 константы, $C,C',\sigma$

Как находятся первые 2 я более или менее понимаю, но вот $\sigma$ находится из условия равенства давления $\rho$ и $\rho'$ на границе раздела 2х жидкостей при этом, для нахождения давления используется интеграл Коши-Лагранжа, который для жидкости которая движется в поле силы тяжести вообще равен:

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{\operatorname{grad}(\varphi)^2}{2}+\frac{P}{\rho}+\rho gz=f(t)$$

В книге же $f(t)$ приравнена константе. Почему это так?

Смотрим дальше, преобразуем эту формулу, получим следующее выражение:

$$P=-\rho\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{1}{2}\rho v^2- \rho gz +\operatorname{const}$$

В нашем случае

$$v^2=v^2_x+v^2_z=(\frac{\partial \varphi}{\partial x})^2+(\frac{\partial \varphi}{\partial z})^2$$

Подставляем выражения для $\varphi$

$$U^2+2UCk \ch(k(z+h))\cos(kx-\sigma t)+C^2k^2[\ch^2(k(z+h))\cos^2(kx-\sigma t)+\sh^2(k(z+h))\sin^2(kx-\sigma t)]$$

Теперь в учебнике говорят волшебные слова "$C$ – бесконечно малая тогда $C^2$ можно пренебречь; в предпоследнем члене для $z=\zeta$ заменить $z$ на $0$,так кака этот член уже содержет бесконечно малую $C$,также при
Вычислении $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$. Поэтому

$$(P)_{z=\zeta}=C\rho \ch(kh)\cos(kx-\sigma t)-\frac{1}{2}\rho U^2-Uck \rho ga\cos(kx-\sigma t)+\operatorname{const}$$

Тут тоже возникает вопрос почему $C$ - бесконечно малое? И не совсем понятно почему $z$ приравневается к $0$.

$$(P')_{z=\zeta}=C'\rho' \ch(kh')\cos(kx-\sigma t)-\frac{1}{2}\rho' U'^2-UC'k \rho' ga\cos(kx-\sigma t)+\operatorname{const}$$

Далее творится вообще что-то непонятное:

В учебнике эти выражения приравниваются и получается волшебство

$$C \rho(\sigma-kU)\ch(kh)-\rho ga=C' \rho'(\sigma-kU')-\rho' ga$$

Во первых там косинус гиперболический пропущен, по моему, но даже если с ним то...

Как это плучается? Куда делись константы? Куда делись $\frac{1}{2}\rho U^2$ и $\frac{1}{2}\rho' U'^2$? Они не могут сократится! Что произошло? Я не понимаю.

[mishafromusa]

1) $f(t)$ можно сделать константой, прибавив к потенциалу подходящую функцию только от времени, что не влияет на поле скоростей. Это примерно то же, что калибровочная инвариантность в электродинамике.
2) "Волшебная фраза" "$C$ бесконечно малое" означает, что мы линеаризуем уравнения для волновых возмущений потока около невозмущённого решения, поэтому все члены кроме линейных отбрасываются и само условие равенства давлений сносится на невозмущённую границу $z=0$. Это похоже на вывод линеаризованного волнового уравнения струны или мембраны, уравнений Якоби вариаций геодезических и т.д.