Брусок и две пружины.

[lantza]

К бруску массой $m$, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две горизонтальные пружины. Конец левой пружины жёстко прикреплён к стене. К свободному концу правой пружины жёсткостью $k_1$ приложена горизонтально направленная сила $F$. При этом система находится в равновесии, и растяжение правой пружины в $n$ раз больше, чем растяжение левой пружины. Координата середины бруска равна $x$. Чему равна координата середины бруска $x_0$ при недеформированных пружинах?
Собственно, вот рисунок:


Начало решения, вроде бы, очевидное. Используя то, что $\Delta x_1=n\Delta x_2$, запишем второй закон Ньютона относительно бруска с учетом неизвестной (вроде бы?) жесткостью левой пружины и состоянием равновесии:

$$F-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=0$$ $$F-nk_1\Delta x_2-k_2\Delta x_2=0$$ $$F=\Delta x_2(nk_1+k_2)$$

Что делать дальше? Зачем дана масса? Что делать с этой координатой середины бруска? Если брусок передвинули на некоторую величину от $x_0$, то не значит ли это, что $x=x_0+\Delta x_1+\Delta x_2$ (и там уже продифференцировать это выражение по времени)?

[dikiy]

Цитата:

Начало решения, вроде бы, очевидное. Используя то, что $\Delta x_1=n\Delta x_2$, запишем второй закон Ньютона относительно бруска с учетом неизвестной (вроде бы?) жесткостью левой пружины и состоянием равновесии:

$$F-k_1\Delta x_1-k_2\Delta x_2=0$$

$$F-nk_1\Delta x_2-k_2\Delta x_2=0$$

$$F=\Delta x_2(nk_1+k_2)$$

вот тут неправильно.
Относительно бруска будет

$$\Delta x_1 k_1-\Delta x_2 k_2 = 0 \Rightarrow \Delta x_2 (n k_1 - k_2)=0 \Rightarrow k_2=n k_1$$

А дальше используйте третий закон Ньютона, чтобы понять, с какой силой действует правая пружина на тело.

И да, в данной постановке задачи масса не нужна.

[Skeptic]

Жесткость правой пружины не влияет на положение бруса, Она дана, чтобы определить жесткость левой пружины.

[lantza]

dikiy, я так правильно понимаю, что на брусок действуют со стороны двух пружин только две силы упругости, которые направлены, судя по вашему выражению, один влево, другой вправо? Как-то это противоречит моему интуитивному мышлению.

[dikiy]

lantza в сообщении #948190 писал(а):

dikiy, я так правильно понимаю, что на брусок действуют со стороны двух пружин только две силы упругости, которые направлены, судя по вашему выражению, один влево, другой вправо?

совершенно верно.

Цитата:

Как-то это противоречит моему интуитивному мышлению.

почему же противоречит? сила F приложена к пружине, а не к бруску. А к бруску привязаны только две пружины. Значит и силы на него только от них действовать могут (ну еще сила реакции опоры и сила тяжести, но они друг друга нивелируют).

[lantza]

dikiy в сообщении #948197 писал(а):

почему же противоречит?

Ну, если на пружину справа действует сила $F$, то тогда будет сила упругости, которая направлена в противоположную сторону, то есть влево.
Моя интуиция подсказывает, что пружина слева также будет растянута в сторону силы $F$, поэтому сила упругости тоже направлена влево.
В итоге силы упругости $F_1$ и $F_2$ направлены влево.
Где моя ошибка?

[dikiy]

lantza в сообщении #948205 писал(а):

dikiy в сообщении #948197 писал(а):

почему же противоречит?

Ну, если на пружину справа действует сила $F$, то тогда будет сила упругости, которая направлена в противоположную сторону, то есть влево.

да. в точке приложения силы F. А в точке соединения пружины с бруском эта сила упругости пружины будет уже направлена в другую сторону, то есть вправо. Если бы было наоборот, то пружина не могла бы находиться в покое, а летела бы влево с ускорением

$$a=\frac {2F}{m_\text{пружина}}$$

[lantza]

dikiy в сообщении #948220 писал(а):

да. в точке приложения силы F. А в точке соединения пружины с бруском эта сила упругости пружины будет уже направлена в другую сторону, то есть вправо.

Что-то я запутался. То есть, вы говорите, что на правой пружине имеются две силы упругости, приложенные к двум разным точкам и направленные в противоположные стороны?

[dikiy]

да. с каждого конца по силе.

[lantza]

dikiy в сообщении #948251 писал(а):

да. с каждого конца по силе.

Причем они обе равны по модулю по третьему закону Ньютона? А что насчет $\Delta x_1$, как именно (на чертеже) располагается удлинение пружины?
А в самой правой точке, судя по всему, из третьего закона Ньютона $F=k_1\Delta x_1$. Но вопрос в том, правильно ли определено удлинение пружины относительно правой точки и относительно точки у бруска.
Еще вопрос: откуда (не из факта задачи про равновесие, а вообще физически) появилась эта "лишняя" сила на правой пружине в точке бруска, действующая влево?

[Skeptic]

Левая пружина жесткостью $kn$ растягивается на величину $x-x_0$ силой $F$. Из определения коэффициента жесткости пружины находим координату $x_0$ положения правого конца недеформированной левой пружины.

[dikiy]

lantza в сообщении #948260 писал(а):

dikiy в сообщении #948251 писал(а):

да. с каждого конца по силе.

Причем они обе равны по модулю по третьему закону Ньютона?

да

Цитата:

А что насчет $\Delta x_1$, как именно (на чертеже) располагается удлинение пружины?

это можно нарисовать после того как решишь задачу. Но для решения достаточно знать, что относительные удлинения удовлетворяют условию $\Delta x_1=n\Delta x_2.$

Цитата:

А в самой правой точке, судя по всему, из третьего закона Ньютона $F=k_1\Delta x_1$.

Верно.

Цитата:

Но вопрос в том, правильно ли определено удлинение пружины относительно правой точки и относительно точки у бруска.

Нам не надо знать относительно какой точки было удлинение. В условии достаточно ясно сказано, что $\Delta x_1=n\Delta x_2,$ а больше нам знать и не нужно.

Цитата:

Еще вопрос: откуда (не из факта задачи про равновесие, а вообще физически) появилась эта "лишняя" сила на правой пружине в точке бруска, действующая влево?

От бруска. Брусок действует на пружину так же как и пружина на брусок. Третий закон Ньютона.

[lantza]

dikiy в сообщении #948283 писал(а):

это можно нарисовать после того как решишь задачу. Но для решения достаточно знать, что относительные удлинения удовлетворяют условию $\Delta x_1=n\Delta x_2.$

Ну, я имею в виду, что брусок двинулся с изначального положения. Если бы пружины была бы прикреплена к стенке, то удлинение пружины, очевидно, равно разности длины деформирующейся пружины и длины пружины в покое, и его $\Delta x$ можно легко нарисовать, начиная от конца пружины. Но в этой задаче пружина прикреплена к бруску, который двигается на некоторое расстояние и останавливается в покое. Будет ли правильно, если длину $\Delta x_1$ я нарисую тоже от конца пружины в самой правой точке?

dikiy в сообщении #948283 писал(а):

От бруска. Брусок действует на пружину так же как и пружина на брусок. Третий закон Ньютона.

Да, вы правы. Спасибо.

[dikiy]

Посчитав точку $x_0$, в которой находился брусок до приложения силы $F$ мы можем посчитать удлинения:

$\Delta x_2 = x-x_0,\ \Delta x_1= n(x-x_0)$

Цитата:

Будет ли правильно, если длину $\Delta x_1$ я нарисую тоже от конца пружины в самой правой точке?

Ну, рисовать можно по большому счету откуда угодно. $\Delta$ - это же разница. А разница координат не привязана к какой-то конкретной точке.

[lantza]

dikiy в сообщении #948300 писал(а):

Посчитав точку $x_0$, в которой находился брусок до приложения силы $F$ мы можем посчитать удлинения:

$\Delta x_2 = x-x_0,\ \Delta x_1= n(x-x_0)$

Да, я так и записывал у себя.

dikiy в сообщении #948300 писал(а):

Ну, рисовать можно по большому счету откуда угодно. $\Delta$ - это же разница. А разница координат не привязана к какой-то конкретной точке.

Ну тогда все, большое спасибо за помощь.