Только дело не в сетках, а в том, как выглядит «движение по прямой».
Эммм, не очень понятна мысль, т.к. кажется даже, что она наоборот говорит то же что я и спрашиваю.
Попробую еще расширить картинку своего видения, чтобы было, видимо, лучше понятно в чём собственно вопрос.
Я выше хоть и заикнулся про "возьмём СТО и вооружимся принципом эквивалентности", но так и не провел рассуждение собственно из СТО. :)
Исправляюсь:
Допустим мы хотим понять линейное равномерное гравиполе, рассматривая неИСО линейно ускоряющейся ракеты.
Так, на этот случай в той же вики есть координаты Риндлера, но вот как раз их формализм мне сугубо плохо понятен, и вообще не хватает наглядных рассмотрений.
Попробуем пойти своим путём - склеивать в одну ПВД координаты из мгновенно-сопуствующих ИСО.
Картинка получается интересной, если прыжки между ИСО преобразованиями лоренца сменяют понятие одновременности, то тут мы имеем как бы плавное изменение этой самой одновременности вдоль пространственных координат. Так, часы, спереди носа спешат по сравнению с часами ракеты и более того - тем сильнее спешат, чем дальше до них расстояние. Часы позади ракеты напротив, начинают отставать и тем сильнее, чем дальше до них расстояние, вплоть до некой критической плоскости, где время как бы замирает вовсе со всеми "вмороженными" в эту плоскость событиями. Очевидно, что это тот самый горизонт событий. Более того, следуя рассуждениям с МСИСО, можно даже утверждать что время за горизонтом как бы "проматывается назад", но за это меня остро критиковали, так что не буду этот момент выпячивать здесь, обозначу только, что из-за замирания событий при приближении к ГС взаимодействовать с за-ГС-ной областью нельзя, а после прекращения ускорения картинка за-ГС-ной плоскостью действительно должна выглядеть так, как положено.
Любопытно рассмотреть координаты равномерно по пространству расставленных часов, покоящихся в ИСО. Во первых, в неИСО, все они в процессе ускорения будут сохранять между собой равные дистанции, что сразу же подталкивает нас к тому, что более далёкие спереди "падают" к нам быстрее, стремительно же проматывая своё время вперед. Те которые сзади замедляются не просто так, а опять таки чтобы сохранить неизменную дистанцию. Вообще общая картинка такова, что все часы как бы падают на горизонт событий, сближаясь с ним по ассимптоте, сохраняя взаимную дистанцию, которая после прекращения ускорения просто выразится в одинаковом сокращении лоренца попарно между каждыми часами. Здесь же можно и вспомнить про за-ГС-ную область, там часы тоже, соответственно, падают на ГС с обратной стороны! Причём это можно сопоставить с тем что они бы удалялись от ракеты, если бы не тот момент что время в них течет как бы вспять, и вместо удаления они приближаются. Но не будем концентрировать внимание сильно на за-ГС-ной области, я как то про это долго и безрезультативно спорил, смысл не в ней. Но на ней можно пронаблюдать то, что на ПВД неИСО ракеты никогда не появятся события которые в этой области пространства происходят в будущем тел в ней находящихся. Это я считаю как раз то свойство ОТО непокрытия некоторыми координатными сетками всего пространства-времени, которое опять таки в обсуждениях ЧД муссируется постоянно. Более того, видно что всё в точности как описывает литература про падение наблюдателя в ЧД - во удаленной системе отсчета он вечно приближается к ГС никогда его не пересекая (т.е. в неИСО ракеты), в собственной же ИСО он преспокойно пролетает этот горизонт даже его не заметив. Кажется всё весьма согласуется с тем что я знаю про ОТО и ЧД.
Но я здесь не вижу криволинейности. Да, есть некая странная динамика координатной сетки, но не вижу чтобы причиной гравитации была именно криволинейность. Как мне показалось криволинейность в одномерном случае (ускорение то было вдоль только одной оси) и не может возникнуть, а нужна она и появляется естественно когда в двух измерениях уже гравитирующее по кругу тело "сжимает пространство" вдоль разных осей. В этом действительно смысл или криволинейность есть уже и в одномерном случае, просто я не могу её увидеть в каких именно интервалах она там уже есть?
Третий раз повторяю: Пространство-время не стало кривым. Мировая линия тела как была геодезической, так и осталась. Просто с точки зрения выбранной СО она соответствует ускоренному движению.
в некотором (римановом) пространстве. Предположим, что расстояния между этими точками такие: 
, 
. Легко проверить, что эти четыре точки не могут располагаться в евклидовом пространстве (любой размерности, даже бесконечной). Поэтому пространство, в котором они находятся, не может быть плоским (в действительности их можно расположить на двумерной сфере подходящего радиуса).
Искривление пространства-времени тут ни при чём. Всё дело в выборе системы отсчёта. Чтобы рассмотреть этот процесс, достаточно рассмотреть прямую мировую линию из координат Риндлера, которые Вы упоминали.