Изоморфизм колец вычетов

[Viktor92]

Здравствуйте. Скажите правильно ли я понимаю, понятие изоморфизма, например есть две алгебраические структуры $\mathbb{Z}$ и кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ с операциями умножения, т.о. $\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}}$, справедливо $ab\pmod{n}=a\pmod{n}b\pmod{n}$, т.е. в данном случае операция $\pmod{n}$ есть изоморфизм указанных выше алгебраических структур.

[nnosipov]

Это пример гомоморфизма. А изоморфизм --- это взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

[Viktor92]

А гомоморфизм значит сюрьективное отображение? То есть какому-либо числу элементов из $\mathbb{Z}$ соответствует 1 элемент $\mathbb{Z}_n$

[nnosipov]

Viktor92 в сообщении #946276 писал(а):

А гомоморфизм значит сюрьективное отображение?

Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

[Nurzery[Rhymes]]

Не выполняется взаимная однозначность, необходимая по условию изоморфизма. Каждому элементу из $Z_n$ соответствует бесконечное множество целых чисел, которые при делении на $n$ дают такой остаток.

[Viktor92]

nnosipov в сообщении #946329 писал(а):

Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$, по формуле $\lambda n+a=b$, где $\lambda, b \in{\mathbb{Z}}$, $a\in{\mathbb{Z}_n}$, будет сюрьективным отображением? По определению при таком отображении множества полностью отображаются друг в друга и одному элементу из первого множества, соответствует хотя бы 1 элемент другого.

[nnosipov]

Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):

А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$

Обратного отображения не существует.

[VAL]

nnosipov в сообщении #947605 писал(а):

Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):

А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$

Обратного отображения не существует.

Ну уж прям не существует?!
Существует. Причем бесконечно много. И среди них даже один гомоморфизм.

[nnosipov]

У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.

[VAL]

nnosipov в сообщении #947671 писал(а):

У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.

Я ни на секунду не усомнился в Вашей компетентности.
А придрался только из вредности из-за того, что вне контекста (а в отдельно взятом сообщении контекста не было) данное утверждение может смутить менее компетентных форумчан.

[nnosipov]

(Оффтоп)

VAL
Это я так, на автопилоте. К сессии готовлюсь Тут, похоже, компетентности мало, больше терпение требуется. Эти абстракции (даже самые простейшие) с таким трудом сейчас первокурсникам даются. В общем, беда. В эту сессию в двух группах из трёх устрою письменный экзамен, на устный что-то уже сил не хватает.