2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 17:22 
Здравствуйте. Скажите правильно ли я понимаю, понятие изоморфизма, например есть две алгебраические структуры $\mathbb{Z}$ и кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ с операциями умножения, т.о. $\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}}$, справедливо $ab\pmod{n}=a\pmod{n}b\pmod{n}$, т.е. в данном случае операция $\pmod{n}$ есть изоморфизм указанных выше алгебраических структур.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 17:24 
Это пример гомоморфизма. А изоморфизм --- это взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 18:24 
А гомоморфизм значит сюрьективное отображение? То есть какому-либо числу элементов из $\mathbb{Z}$ соответствует 1 элемент $\mathbb{Z}_n$

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 19:08 
Viktor92 в сообщении #946276 писал(а):
А гомоморфизм значит сюрьективное отображение?
Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение14.12.2014, 19:23 
Аватара пользователя
Не выполняется взаимная однозначность, необходимая по условию изоморфизма. Каждому элементу из $Z_n$ соответствует бесконечное множество целых чисел, которые при делении на $n$ дают такой остаток.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 11:21 
nnosipov в сообщении #946329 писал(а):
Нет, не значит. Только сохранение операций. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$, по формуле $\lambda n+a=b$, где $\lambda, b \in{\mathbb{Z}}$, $a\in{\mathbb{Z}_n}$, будет сюрьективным отображением? По определению при таком отображении множества полностью отображаются друг в друга и одному элементу из первого множества, соответствует хотя бы 1 элемент другого.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 13:49 
Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):
А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$
Обратного отображения не существует.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 15:16 
nnosipov в сообщении #947605 писал(а):
Viktor92 в сообщении #947521 писал(а):
А например обратное отображение из $\mathbb{Z}_n$ в $\mathbb{Z}$
Обратного отображения не существует.
Ну уж прям не существует?!
Существует. Причем бесконечно много. И среди них даже один гомоморфизм.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 15:26 
У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 18:35 
nnosipov в сообщении #947671 писал(а):
У отображения $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$, действующего по правилу $a \mapsto [a]_n$, не существует обратного, так как это отображение не является биективным. Я имел в виду только это.
Я ни на секунду не усомнился в Вашей компетентности.
А придрался только из вредности из-за того, что вне контекста (а в отдельно взятом сообщении контекста не было) данное утверждение может смутить менее компетентных форумчан.

 
 
 
 Re: Изоморфизм колец вычетов
Сообщение16.12.2014, 18:52 

(Оффтоп)

VAL
Это я так, на автопилоте. К сессии готовлюсь :-) Тут, похоже, компетентности мало, больше терпение требуется. Эти абстракции (даже самые простейшие) с таким трудом сейчас первокурсникам даются. В общем, беда. В эту сессию в двух группах из трёх устрою письменный экзамен, на устный что-то уже сил не хватает.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group