C2 по математике(скалярное произведение)

[foundate]

Здравствуйте!
С задачей прикрепляю моё решение(находил нормали к плоскостям и искал угол между ними), не уверен, прав или нет.
Будьте добры, помогите решить задачу(методом координат)
Буду благодарен, если проверите моё решение.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре $AA_1$ отмечена точка $E $ так, что $\frac{AE}{EA} = \frac{2}{1}$. Найдите угол между плоскостями $A B C$ И BED_1$.





-----------------------------------------------
Дано
$AA_1 = 5$

$AB = 1$

$AE = \frac{10}{3}$

$EA_1 = \frac{5}{3}$

Решение
$D(0;0;0)$

$\vec{n}_{ABC} \left\lbrace 0;0;1\right\rbrace$
$\vec{n}_{BED_1} \left\lbrace x;y;z\right\rbrace$

Точка $B(1;1;0)$
$E(0;1;\frac{10}{3})$
$D_1(0;0;1)$

$\vec{EB} \left\lbrace 1;0;\frac{-10}{3}\right\rbrace$
$\vec{D_1E} \left\lbrace 0;1;\frac{7}{3}\right\rbrace$

$\vec{n}_{BED_1} \perp \vec{EB} \left\lbrace 1;0;\frac{-10}{3}\right\rbrace
$\vec{n}_{BED_1} \perp \vec{D_1E} \left\lbrace 0;1;\frac{7}{3}\right\rbrace

$x-\frac{-10}{3}z = 0$
$y+\frac{7}{3}z = 0$
$x=\frac{10}{3}z $
$y=\frac{-7}{3}z$
$z=z=1$

$\vec{n}_{ABC} \left\lbrace 0;0;1\right\rbrace$
$\vec{n}_{BED_1} \left\lbrace \frac{10}{3};\frac{-7}{3};1\right\rbrace$

$\cos a =\frac{1}{\sqrt158}=\frac{3\sqrt158}{158}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: текст не набран в теме, формулы не оформлены $\TeX$ом

foundate
Наберите условие задачи и попытку решения буковками в посте. На картинке оставляйте только чертёж.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Brukvalub]

foundate в сообщении #946915 писал(а):

... На ребре $AA_1$ отмечена точка $E $ так, что $\frac{AE}{EA} = \frac{2}{1}$. ...

Совсем составители ЕГЭ озверели! Невозможные условия в задачи вставляют, мучают школяров почем зря!

[foundate]

Brukvalub в сообщении #946965 писал(а):

foundate в сообщении #946915 писал(а):

... На ребре $AA_1$ отмечена точка $E $ так, что $\frac{AE}{EA} = \frac{2}{1}$. ...

Совсем составители ЕГЭ озверели! Невозможные условия в задачи вставляют, мучают школяров почем зря!

$EA_1$

Исправил

[foundate]

Ну помогите(

[provincialka]

Ох! Читать/считать все эти циферки... А вам обязательно надо такими методами? Чисто геометрически не пойдет?
Например, есть свойство площадей: как площадь фигуры связана с площадью проекции? Там как раз нужный косинус-то и вылезает!

[foundate]

В школьном курсе такого нет, а использовать можно только его :c
Если геометрически - перепендикуляры выходят за пределы фигуры и получается сложненько...

[provincialka]

Как нет? Нет формулы, что площадь проекции равна площади фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями? В мое время было!

[foundate]

Абсолютно точно уверен нет :)
Сейчас попробую ею)

[provincialka]

Можно еще продолжить отрезки $D'K$ и $D'E$ до пересечения с нижним основанием в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда высоты треугольников $D'PQ$ и $DPQ$, опущенные на $PQ$, и будут образовывать искомый угол.

[foundate]

provincialka в сообщении #947154 писал(а):

Как нет? Нет формулы, что площадь проекции равна площади фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями? В мое время было!

А если вернуться к этой идее - как можно найти площадь сечения $BED_1$ ?
Это параллеллограм - диагонали найти можно, а угол между ними...?
Стороны также можно, а синус между ними?

[provincialka]

foundate в сообщении #947173 писал(а):

как можно найти площадь сечения

Можно, например, по диагонали и сторонам найти площадь половины параллелограмма (формула Герона). Но я вам выше другую идею подкинула.

[foundate]

provincialka в сообщении #947174 писал(а):

foundate в сообщении #947173 писал(а):

как можно найти площадь сечения

Можно, например, по диагонали и сторонам найти площадь половины параллелограмма (формула Герона). Но я вам выше другую идею подкинула.

Не хотелось бы лезть за границы фигуры, всегда с этим криво получается(

[provincialka]

Почему? Положение точек $P$ и $Q$ легко рассчитывается. А потом можно рассмотреть сечение и "вид сверху".

[foundate]

Вот, опять. Ведь получается, что одна высота - диагональ квадрата в основании, а другая - диагональ призмы, разве нет?
Диагональ квадрата в основании равна $\sqrt{2}$
А другая диагональ $\sqrt{5}$ ?
$\cos a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ ?