Устойчивость по Ляпунову

[Nurzery[Rhymes]]

Исследовать решение уравнения на устойчивость по Ляпунову: $\frac{dx}{dt}=2t(x+1)$, $x(0)=0$
Преобразую это уравнение: $\frac{dx}{dt}-2tx=2t$. Это линейное неоднородное уравнение, решаем его. Промежуточное решение:

$\frac{1}{2}\ln |x| = \frac{t^2}{2}+C$
И сразу вопрос: могу я это уравнение умножить на 2, чтобы потом не возиться со степенями, или если я это сделаю, получится функция, которая решением не является?

Нашел решение этого уравнения: $x=Ce^{t^2}-1$

Решаем задачу Коши. $x(0) = 0 \Rightarrow C=1$.

Имеем: $x=e^{t^2}-1$

Как исследовать это решение на устойчивость? Я не понял, о чем говорится в определении на языке эпсилон-дельта, но в какой-то статье уловил суть: решение называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения.

Что мне теперь делать? Рассмотреть решение для какого-то абстрактного условия $x(t)=x_0$, выразить решение задачи Коши для $x(t)=x_0$ и оценить разность нового решения и того, которое исследуется на устойчивость?

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946896 писал(а):

И сразу вопрос: могу я это уравнение умножить на 2, чтобы потом не возиться со степенями, или если я это сделаю, получится функция, которая решением не является?

А Вы сделайте это, получите функцию, подставьте её в диффур - и сразу увидите, является она решением или не является.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946896 писал(а):

Что мне теперь делать? Рассмотреть решение для какого-то абстрактного условия $x(t)=x_0$, выразить решение задачи Коши для $x(t)=x_0$ и оценить разность нового решения и того, которое исследуется на устойчивость?

Типа того, да. Хотя вообще оно и так видно.

[Nurzery[Rhymes]]

Тогда решаю дальше. Поправьте меня, если я что-то делаю не так или не до конца понимаю то, что делаю.

Рассмотрим еще одно начальное условие $x(0)=x_0$. Почему мы здесь рассматриваем $x(0)$, а не $x(t)$, например? Я не совсем понимаю, что такое задача Коши?

В общем, пусть $x(0)=x_0$, тогда $Ce^0 - 1=x_0$, значит, $C-1=x_0$ и $C=x_0 + 1$.

Решением задачи Коши $x(0)=x_0$ является функция $x(t)=(x_0 + 1)e^{t^2}-1$. Рассмотрим разность двух полученных решений:

$(x_0 + 1)x^{t^2}-1 - e^{t^2}+1 = x_0 e^{t^2}$

Как из этого понять, устойчиво решение или нет?

[ИСН]

Не надо понимать, что такое задача Коши. Устойчивость - это когда близкие решения сходятся, а неустойчивость - когда они расходятся. Что из этого происходит у нас?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #946909 писал(а):

Не надо понимать, что такое задача Коши. Устойчивость - это когда близкие решения сходятся, а неустойчивость - когда они расходятся. Что из этого происходит у нас?

Как определить, что близкие решения сходятся? Я получил, что разность двух близких решений равна $x_0 e^{t^2}$, то есть при $t \to \infty$ эта разность неограниченно возрастает, т.к. $x_0$ - константа, а $e^{t^2}$ становится очень большим. Значит, на бесконечности решения с близким начальным условием отличаются друг от друга очень сильно, и нулевое решение неустойчиво. Так?

[ИСН]

Ну да, так, больше ничего и не надо.

[Nurzery[Rhymes]]

А какой должна получиться разность, чтобы решение было устойчивым? В моем примере я посмотрел, что разность неограниченно возрастает при $t \to \infty$, поэтому решение неустойчиво. А для того, чтобы оно было устойчивым, решение должно быть константой?