сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946482 писал(а):

Вот результат:
$x^{16}+x^{14}-x^{10}-x^8-x^6+x^2+1$

Ну вот!
Осталось выразить сумму квадратов корней этого многочлена через их сумму и сумму попарных произведений, и применить формулы Виета.

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946484 писал(а):

Ну вот!
Осталось выразить сумму квадратов корней этого многочлена через их сумму и сумму попарных произведений, и применить формулы Виета.

Вот так получается:

$0=-(\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{16})$

$1=\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+...+\varepsilon_1\varepsilon_{16}+\varepsilon_2\varepsilon_3+...+\varepsilon_{15}\varepsilon_{16}=B$

Возведем первое равенство в квадрат и раскроем скобки:

$\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+...+\varepsilon_{16}^2+2B=0$

Следовательно сумма квадратов $= -2$, правильно?

Спасибо вам большое!

А как следовало бы подойти при решении аналогичной задачи, но если бы надо было найти сумму 39 степеней первообразных корней степени 420 из 1? Ведь тут из формул Виета вроде как ничего дельного не получается...

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946495 писал(а):

Вот так получается:

$0=-(\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{16})$

$1=\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+...+\varepsilon_1\varepsilon_{16}+\varepsilon_2\varepsilon_3+...+\varepsilon_{15}\varepsilon_{16}=B$

Возведем первое равенство в квадрат и раскроем скобки:

$\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+...+\varepsilon_{16}^2+2B=0$

Следовательно сума квадратов $= -2$, правильно?

Верно.

С задачкой разобрались.

А красоту полиномов деления круга оценили?

Надеюсь, ясно, что число 60 - не особенное.

Всякий полином $x^n-1$ раскладывается над $\mathbb Q$ на неприводимые множители. Каждый из них имеет степень $\varphi(d)$, где $d$ пробегает множество делителей $n$, а его корни - первообразные корни степени $d$ из единицы.
В частности, имеет место равенство $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$.

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946522 писал(а):

Верно.

С задачкой разобрались.

А красоту полиномов деления круга оценили?

Надеюсь, ясно, что число 60 - не особенное.

Всякий полином $x^n-1$ раскладывается над $\mathbb Q$ на неприводимые множители. Каждый из них имеет степень $\varphi(d)$, где $d$ пробегает множество делителей $n$, а его корни - первообразные корни степени $d$ из единицы.
В частности, имеет место равенство $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$.

Да, интересная для меня задача, а это обобщение очень полезное, спасибо большое!)

А как следовало бы подойти при решении аналогичной задачи, но если бы надо было найти сумму 39 степеней первообразных корней степени 420 из 1? Ведь тут из формул Виета вроде как ничего дельного уже не получается...

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946524 писал(а):

А как следовало бы подойти при решении аналогичной задачи, но если бы надо было найти сумму 39 степеней первообразных корней степени 420 из 1? Ведь тут из формул Виета вроде как ничего дельного уже не получается...

Получается. Сумма 39-х степеней есть симметрическая функция от корней соответствующего полинома. А всякая симметрическая функция выражается через элементарные, что дает возможность применить формулы Виета.

Другое дело, что вычислительно это будет, мягко говоря, потруднее.

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #946524 писал(а):

если бы надо было найти сумму 39 степеней первообразных корней степени 420 из 1?

Сумма корней $39$-й степени из $420$ равна сумме корней $3$-й степени из $420$, а 3 - это маленькое число.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #946536 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #946524 писал(а):

если бы надо было найти сумму 39 степеней первообразных корней степени 420 из 1?

Сумма корней $39$-й степени из $420$ равна сумме корней $3$-й степени из $420$, а 3 - это маленькое число.

Идея хороша!
Хотя, в силу странного ее оформления, получилось неверное утверждение

Хотя почему неверное? И там и там нули

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946540 писал(а):

Сумма корней $39$-й степени из $420$ равна сумме корней $3$-й степени из $420$, а 3 - это маленькое число.

Почему это имеет место?

[ИСН]

C помощью каких-нибудь там симметрий, наверное, можно съехать на степень пониже. И то, что степень не взаимно проста с порядком, наверняка принесёт некие плюшки.

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946535 писал(а):

Получается. Сумма 39-х степеней есть симметрическая функция от корней соответствующего полинома. А всякая симметрическая функция выражается через элементарные, что дает возможность применить формулы Виета.

Другое дело, что вычислительно это будет, мягко говоря, потруднее.

Да, но тут, наверняка есть хитрость, т.к. это реальная задача первого курса.

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #946543 писал(а):

Почему это имеет место?

Ааа, интересно стало! А вот попытайтесь догадаться сами. Как Вы думаете, почему?
Что Вы знаете о корнях из единицы? Опишите их.

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946551 писал(а):

VAL в сообщении #946535 писал(а):

Получается. Сумма 39-х степеней есть симметрическая функция от корней соответствующего полинома. А всякая симметрическая функция выражается через элементарные, что дает возможность применить формулы Виета.

Другое дело, что вычислительно это будет, мягко говоря, потруднее.

Да, но тут, наверняка есть хитрость, т.к. это реальная задача первого курса.

Ну, идею упрощения уже подсказал Sonic86.

Мои придирки касались только неаккуратных формулировок.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #946553 писал(а):

Ааа, интересно стало! А вот попытайтесь догадаться сами. Как Вы думаете, почему?
Что Вы знаете о корнях из единицы? Опишите их.

Все мои знания крутятся вокруг определения первообразных корней. Вы имеете в виду, что есть свойства первообразных корней, позволяющие понижать степень, да?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #946582 писал(а):

Вы имеете в виду, что есть свойства первообразных корней, позволяющие понижать степень, да?

Нетривиальных таких свойств нет, только $\varepsilon ^n=1$ и все.
Вспоминайте свойства корней из единицы.
Чему изоморфна группа множество корней из единицы с произведением?

Товарищи, или я прошу что-то сложное для студента? А то я не знаю.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #946592 писал(а):

Нетривиальных таких свойств нет, только $\varepsilon ^n=1$ и все.
Вспоминайте свойства корней из единицы.
Чему изоморфна группа множество корней из единицы с произведением?

Понятия и не имею, но интуиция мне подсказывает, что есть изоморфизм группе чисел по какому-то модулю.

Sonic86 в сообщении #946592 писал(а):

Товарищи, или я прошу что-то сложное для студента? А то я не знаю.

Дело в том, что я еще школьник, мне просто интересна математика и я пытаюсь разобраться в некоторых сложных вещах самостоятельно.