сумма квадратов первообразных корней степени 60 из 1

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946364 писал(а):

В частности, где-то там есть и интересующие нас, первообразные корни. Догадались в каком сомножителе?

А они не могут быть разбросаны по разным сомножителям?

VAL в сообщении #946364 писал(а):

$\mathbb Q[x]$ (даже из $\mathbb Z[x]$)

Что Вы подразумеваете под этими обозначениями? В моем представлении $x-i \in \mathbb Z[x]$, т.е. непонятно, почему я вышел из $\mathbb Z[x] $ написав скобку $(x-i)$. Ведь это просто многочлен с комплексными коэффициентами...

А $\mathbb Q[x]$ - в моем представлении, это кольцо многочленов с рациональными коэффициентами..

[Lia]

ZumbiAzul
Формулы оформляем.
$\mathbb Z$ - кольцо целых чисел.

[ZumbiAzul]

Lia в сообщении #946396 писал(а):

$\mathbb Z$ - кольцо целых чисел.

Ой, да, со мной редко, но бывает) Думал про $\mathbb{Z}$, что оно $\mathbb{C}$ Sorry

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946392 писал(а):

VAL в сообщении #946364 писал(а):

В частности, где-то там есть и интересующие нас, первообразные корни. Догадались в каком сомножителе?

А они не могут быть разбросаны по разным сомножителям?

Давайте посмотрим.
Начнем с $x^{60}-1=(x^{30}-1)(x^{30}+1)$. Ясно, что корни первого сомножителя - это, в точности, корни 30-й степени из единицы. Значит, они не первообразные.
Далее, $x^{30}+1(x^{10}+1)(x^{20}-x^{10}+1)$. Но $x^{10}+1$ является делителем $x^{20}-1$ и, значит, его корни являются корнями 20-й степени из 1...
Так в каком же сомножителе лежат первообразные корни?

Цитата:

VAL в сообщении #946364 писал(а):

$\mathbb Q[x]$ (даже из $\mathbb Z[x]$)

Что Вы подразумеваете под этими обозначениями? В моем представлении $x-i \in Z[x]$, т.е. не понятно, почему я вышел из Z[x] написав скобку $(x-i)$. Ведь это просто многочлен с комплексными коэффициентами...

Потому что $\mathbb Z[x]$ - кольцо многочленов с целыми коэффициентами, а $i \notin \mathbb Z$.

Цитата:

А Q[x] - в моем представлении, это кольцо многочленов с рациональными коэффициентами..

Это верно.

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946402 писал(а):

Давайте посмотрим.
Начнем с $x^{60}-1=(x^{30}-1)(x^{30}+1)$. Ясно, что корни первого сомножителя - это, в точности, корни 30-й степени из единицы. Значит, они не первообразные.
Далее, $x^{30}+1(x^{10}+1)(x^{20}-x^{10}+1)$. Но $x^{10}+1$ является делителем $x^{20}-1$ и, значит, его корни являются корнями 20-й степени из 1...
Так в каком же сомножителе лежат первообразные корни?

Значит, все первообразные корни являются корнями многочлена $x^{20}-x^{10}+1$. Т.е. надо дальше работать только с ним?

Ну и ясно, что у него только 4 корня не будут первообразными...

-- Вс дек 14, 2014 21:41:35 --

Еще пока не четко ясна сама идея стратегии.. Как связано, то что мы разлагаем указанный многочлен на скобки с суммой квадратов первообразных корней из 1, в чем состоит идея? Т.е., как можно использовать потом полученный полином?

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946408 писал(а):

Значит, все первообразные корни являются корнями многочлена $x^{20}-x^{10}+1$. Т.е. надо дальше работать только с ним?

Но у этого многочлена 20 корней. А Вы сами верно заметили, что первообразных корней 16 штук. Значит, этот полином содержит 4 лишних корня. Надо от них избавиться. Для этого полезно понять первообразные корни какой степени из 1 (кроме интересующих нас первообразных корней 60-й степени) содержит наш многочлен.
Это легко сделать. Ведь мы уже знаем, что среди корней $x^{20}-x^{10}+1$ нет корней 30-й и 20-й степеней.

[ИСН]

ZumbiAzul в сообщении #946408 писал(а):

Т.е., как можно использовать потом полученный полином?

Знаете, как найти сумму корней полинома, не находя сами корни, прямо по коэффициентам? А сумму всех попарных произведений?

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946417 писал(а):

Но у этого многочлена 20 корней. А Вы сами верно заметили, что первообразных корней 16 штук. Значит, этот полином содержит 4 лишних корня. Надо от них избавиться. Для этого полезно понять первообразные корни какой степени из 1 (кроме интересующих нас первообразных корней 60-й степени) содержит наш многочлен.
Это легко сделать. Ведь мы уже знаем, что среди корней $x^{20}-x^{10}+1$ нет корней 30-й и 20-й степеней.

Среди корней 60-й степени существуют еще и корни степеней $n_1=\frac{60}d$, где $d$ - делители 60. Вот делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 20, 30.. Исключая 2 и 3 (т.к. $\frac{60}{2}=30$, $\frac{60}{3}=20$), остаются делители 1, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Поделив 60 на каждый из них, получим первообразные степени корня из 1: 15, 12, 10, 6, 4, 3, 2. Правильно?

[ИСН]

Я потерял смысл речей. Что такое "первообразные степени корня из 1"?

[ZumbiAzul]

ИСН в сообщении #946421 писал(а):

Знаете, как найти сумму корней полинома, не находя сами корни, прямо по коэффициентам? А сумму всех попарных произведений?

Формулы Виета?

ИСН в сообщении #946435 писал(а):

Я потерял смысл речей. Что такое "первообразные степени корня из 1"?

Имелось в виду "первообразные корни определенной степени из 1", оговорился

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946431 писал(а):

VAL в сообщении #946417 писал(а):

Но у этого многочлена 20 корней. А Вы сами верно заметили, что первообразных корней 16 штук. Значит, этот полином содержит 4 лишних корня. Надо от них избавиться. Для этого полезно понять первообразные корни какой степени из 1 (кроме интересующих нас первообразных корней 60-й степени) содержит наш многочлен.
Это легко сделать. Ведь мы уже знаем, что среди корней $x^{20}-x^{10}+1$ нет корней 30-й и 20-й степеней.

Среди корней 60-й степени существуют еще и корни степеней $n_1=\frac{60}d$, где $d$ - делители 60. Вот делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 20, 30.. Исключая 2 и 3 (т.к. $\frac{60}{2}=30$, $\frac{60}{3}=20$), остаются делители 1, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Поделив 60 на каждый из них, получим первообразные степени корня из 1: 15, 12, 10, 6, 4, 3, 2. Правильно?

Многовато будет!
А разве первообразные корни 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 10-й и 15-й степеней из единицы не содержатся среди всех корней 20-й и 30-й степеней?
И что у нас в сухом остатке?

-- 14 дек 2014, 22:07 --

ИСН в сообщении #946435 писал(а):

Я потерял смысл речей. Что такое "первообразные степени корня из 1"?

Не придирайтесь. Ну переставили два слова...
Следует читать: "первообразные степени 1 из корня"

[ZumbiAzul]

VAL в сообщении #946441 писал(а):

Многовато будет!
А разве первообразные корни 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 10-й и 15-й степеней из единицы не содержатся среди всех корней 20-й и 30-й степеней?
И что у нас в сухом остатке?

Остается только 12! Как это знание можно применить к нашему многочлену?

[ИСН]

Найдите такой же многочлен для 12 - скорее всего, там только он и остался - и поделите на него.

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #946445 писал(а):

Остается только 12! Как это знание можно применить к нашему многочлену?

Очень просто.
$x^{12}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)$.
В каком из множителей корни - первообразные корни 12-й степени из 1?

PS: Собственно, ИСН уже дал тот же совет.Но не стирать же разложение, на которое потрачено столько сил

[ZumbiAzul]

ИСН в сообщении #946446 писал(а):

Найдите такой же многочлен для 12 - скорее всего

Посмотрел в википедии. Это будет $x^4-x^2+1$

ИСН в сообщении #946446 писал(а):

и поделите на него

Вот результат:

$x^{16}+x^{14}-x^{10}-x^8-x^6+x^2+1$

VAL в сообщении #946452 писал(а):

Очень просто.
$x^{12}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)$.
В каком из множителей корни - первообразные корни 12-й степени из 1?

PS: Собственно, ИСН уже дал тот же совет.Но не стирать же разложение, на которое потрачено столько сил

$x^{12}-1=(x^6-1)(x^6+1)$

Значит в первой скобке сидят корни 6-й (и в частности 3-й) степени. Далее

$(x^6+1)=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$

Первая скобка является делителем $x^4-1$, значит в ней содержаться корни 4-й степени.
Значит, корни 12-й степени содержаться во второй скобке.

Сумма корней находится по формулам Виета.. а сумма квадратов корней?