Скорость тени

[fronnya]

Фонарь опускается по вертикали с высоты $H$ с постоянной скоростью $v$ На расстоянии $x$ расположен столб высотой $h$. С какой скоростью $v_A$ будет двигаться конец тени, падающей от столба на землю через время $t$ после начала движения фонаря?

Кое- что предварительно хочу выяснить:
1) То, что я отметил на рисунке через $x_1$- это и есть длина тени столба?
2)Нужно найти измерение $x_1$ за время $t$?
3) Когда $H=h$, точка A будет находиться на бесконечности? Ну или по крайней мере не на земле?
4) Обязательно ли, если фонарь движется равномерно, то и точка $A$ будет так же равномерно двигаться?
Теперь, что я смог сделать из решения, я смог найти начальное положение точки $A$, это довольно просто: $x_0=x+x_1$. Ну вообще, сначала стоит найти $x_1$:

$$\tg\varphi=\frac{H}{x+x_1}=\frac{h}{x_1}$$

Откуда $x_1=\frac{h}{H-h}x$ Ну а тогда $x_0=\frac{H}{H-h}x$
В самом деле, если $H\to h$, то положение точки $A$ будет на бесконечности. А как мне поступить дальше, как связать все это с фонарем?

-- 13.12.2014, 22:11 --

Продолжу решение, кажется, я до чего- то додумался. Пусть фонарь переместился на $\Delta H$ и теперь он находится на высоте $H-\Delta H$. Но тогда и точка A сместится на какое- то расстояние $\Delta x$. Пусть новое положение точки $A$ $x'$. Для него, по аналогии с $x_0$, можно записать:

$$x_1=\frac{H-\Delta H}{H-\Delta H- h}x$$

. С другой стороны $x'=x_0+\Delta x=x_0+v_A t$, тогда, учитывая выражения для $x_0$ и $x'$, я получаю такой ответ:

$$v_A=\frac{x}{t}\left(\frac{H-vt}{H-vt-h}-\frac{H}{H-h}\right)$$

Правильно?

[Ms-dos4]

fronnya
1)Да
2)Нужно найти $\[{\frac{{d{x_1}}}{{dt}}}\]$
3)Можно сказать, что на Земле, но на бесконечном расстоянии
4)Нет, как иначе она на бесконечность убежит ?

[fronnya]

Вообще говоря, что- то не так.

[Ms-dos4]

Так то зачем, вы же получили $\[{x_1} = \frac{h}{{H - h}}x\]$, в условии сказано, что фонарь опускается равномерно, значит $\[H(t) = {H_0} - vt\]$.

Ну и $\[\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = \frac{{hvx}}{{{{({H_0} - h - vt)}^2}}}\]$

[fronnya]

Аааа, ну да, производную.. Все получилось, в выражении для $x_1$ $\Delta H= vt$ Отсюда ищем производную по времени и получаем ответ

$$\dot{x_1}=\frac{hvx}{(H-vt-h)^2}$$

-- 13.12.2014, 22:25 --

Ms-dos4, одновременно написали И все же. Я не понимаю все равно, почему тень движется неравномерно?

-- 13.12.2014, 22:26 --

Ms-dos4 в сообщении #945831 писал(а):

Так то зачем, вы же получили $\[{x_1} = \frac{h}{{H - h}}x\]$, в условии сказано, что фонарь опускается равномерно, значит $\[H(t) = {H_0} - vt\]$.

Ну и $\[\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = \frac{{hvx}}{{{{({H_0} - h - vt)}^2}}}\]$

Вы конечно же правы, но я сюда написал то, что первое в голову пришло

[Ms-dos4]

fronnya
1)Чисто физические соображения - пусть фонарь движется равномерно. За конечный интервал времени он достигнет такого положения, когда тень будет на бесконечности. А тень же сначала бежит с конечной скоростью, но движение равномерным быть не может, иначе она за конечный интервал времени в бесконечность не убежит (а убегает ведь!). Значит скорость у неё непостоянна
2)Тупо глянуть в полученную вами формулу. Видите, скорость зависит от $\[t\]$.

-- Сб дек 13, 2014 23:28:55 --

P.S.Кстати, стоит заметить, что формула для скорости тени имеет смысл лишь для $\[t < \frac{{{H_0} - h}}{v}\]$ (при равенстве тень на бесконечности, а далее просто бессмысленно).

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #945833 писал(а):

fronnya
1)Чисто физические соображения - пусть фонарь движется равномерно. За конечный интервал времени он достигнет такого положения, когда тень будет на бесконечности. А тень же сначала бежит с конечной скоростью, но движение равномерным быть не может, иначе она за конечный интервал времени в бесконечность не убежит (а убегает ведь!). Значит скорость у неё непостоянна
2)Тупо глянуть в полученную вами формулу. Видите, скорость зависит от $\[t\]$.

-- Сб дек 13, 2014 23:28:55 --

P.S.Кстати, стоит заметить, что формула для скорости тени имеет смысл лишь для $\[t < \frac{{{H_0} - h}}{v}\]$

Да, смысл формулы я понимаю.

Ms-dos4 писал(а):

2)Тупо глянуть в полученную вами формулу. Видите, скорость зависит от $\[t\]$.

Прочитав задачу, я вообще не предвидел такого

-- 13.12.2014, 22:33 --

Жизненная, прям, задачка.

-- 13.12.2014, 22:35 --

Ну на уровне интуиции я все таки понимал, что тень не движется равномерно. Но я ведь не могу всегда верить своей интуиции.

-- 13.12.2014, 22:37 --

Ms-dos4, я так понял, что вы догадались, что задача из Матвеева

[Ms-dos4]

fronnya
1)Тут помогут несложные физические соображения. Интуиция в общем то не при чём
2)Да, я видел её раньше.