Теоретическая Гидромеханика

[TripleLucker]

Здравствуйте. Я не знаю, можно ли задать тут такой вопрос, ибо я не нашел ни одной темы, посвященной теоретической гидромеханике. Но все же попробую:
Есть такая задача: Диполь с осью параллельной оси Ох, расположенный на расстоянии h от оси Ox, обтекается равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки. Задан момент диполя, плотность и скорость набегающего потока. Определить силу, действующую на пластинку.
Что я сделал: я записал суммарный комплексный потенциал : от равномерного потока и от диполя:

\[w(z) = Uz - \frac{m}{{2\pi (z - ih)}}\]

Берем производную:

\[\frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}}\]

Теперь, т.к. движение установившееся, то можем воспользоваться формулой Блазиуса-Чаплыгина:

\overrightarrow R = 0.5\rho \oint\limits_L {{{(\frac{{dw}}{{dz}})}^2}dz},

где у нас L - любой контур, содержащий (в данном случае) нашу пластинку. Я беру интеграл по замкнутой области ( верхний полукруг радиуса R)
он равен сумме интеграла по пластинке на отрезке [-R,R] и интеграла по контуру половины окружности.

Вот в чем проблема : интеграл по замкнутой области через вычеты равен 0, т.к. квадрат производной уже функция, представленная в виде ряда Лорана в окрестности точки ih, и там нет минус первого коэффициента.
Интеграл по [-R;R] - это нужно найти, а интеграл по контуру у меня не получается найти, он почему-то расходится, либо я что-то не так делаю. Собственно, в этом и заключается вопрос. Может, нужно как-то по-другому искать силу?

[Утундрий]

Непроницаемую пластину потеряли.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #944787 писал(а):

Непроницаемую пластину потеряли.

\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial n}} = 0\]

Вы об этом ( условие непротекания )?

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #944138 писал(а):

равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки.

Я об этой непонятно как ориентированной и неизвестно где расположенной пластинке. Вот если не терять условий, переписывая их на форум, то было бы понятно зачем нам задана величина $h$.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #944930 писал(а):

TripleLucker в сообщении #944138 писал(а):

равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки.

Я об этой непонятно как ориентированной и неизвестно где расположенной пластинке. Вот если не терять условий, переписывая их на форум, то было бы понятно зачем нам задана величина $h$.

Так я просто переписал условие из задачника. Я пока еще даже не использовал никакие условия, потому что проинтегрировать не получается. Пластинка у меня лежит на оси Ох, ось Оy проходит через h. Контур я уже описал. Ориентация положительная (хотя не пойму, как это поможет в данной ситуации). Ну вроде все про условия.

[Утундрий]

Итак, верхняя полуплоскость заполнена идеальной жидкостью, имеющей на бесконечности направленную в сторону положительных иксов скорость $U$. Ось абсцисс является непроницаемой идеальной стенкой. В точке $(0,h)$ задан диполь интенсивности $m$, ориентированный также по иксу. Необходимо найти силу, действующую на пластинку. Для этого сперва надобно расчитать распределение скорости по стенке. Ибо, зная скорость, из уравнения Бернулли получим давление, проинтегрировав которое получим и силу. Причём, для конечности результата нужно предположить, что жидкость обтекает пластинку и снизу, но влияние диполя туда не распространяется.

Теперь, что делаете вы. Берёте и тупо складываете потенциал равномерного поля скорости и означенного в условии диполя. Ну, вери корошо. А посчитайте-ка теперь, какие будут иметь место быть компоненты скорости на оси исков? Там вас будет ждать нехороший сюрприз.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945071 писал(а):

Итак, верхняя полуплоскость заполнена идеальной жидкостью, имеющей на бесконечности направленную в сторону положительных иксов скорость $U$. Ось абсцисс является непроницаемой идеальной стенкой. В точке $(0,h)$ задан диполь интенсивности $m$, ориентированный также по иксу. Необходимо найти силу, действующую на пластинку. Для этого сперва надобно расчитать распределение скорости по стенке. Ибо, зная скорость, из уравнения Бернулли получим давление, проинтегрировав которое получим и силу. Причём, для конечности результата нужно предположить, что жидкость обтекает пластинку и снизу, но влияние диполя туда не распространяется.

Теперь, что делаете вы. Берёте и тупо складываете потенциал равномерного поля скорости и означенного в условии диполя. Ну, вери корошо. А посчитайте-ка теперь, какие будут иметь место быть компоненты скорости на оси исков? Там вас будет ждать нехороший сюрприз.

Хм, преподаватель сказал, что потенциал правильный. Или вы имеете ввиду, что я после потенциала не то делаю? Мне уже предложили посчитать силу через давление. А как рассчитать распределение скорости по стенке? Не ругайтесь, пожалуйста, я просто действительно плохо это понимаю, семинаров за полгода было всего 4 штуки, а по одним учебникам понимать не научишься.

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #945181 писал(а):

преподаватель сказал, что потенциал правильный.

Преподаватель не в курсе, что это типичная задача на метод отражения? Ну, видимо, преподаватель и автор задачи - существенно разные люди.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945193 писал(а):

TripleLucker в сообщении #945181 писал(а):

преподаватель сказал, что потенциал правильный.

Преподаватель не в курсе, что это типичная задача на метод отражения? Ну, видимо, преподаватель и автор задачи - существенно разные люди.

А, я, кажется, понял, мы помещаем еще один диполь с нижней стороны пластины симметрично данному. И вот это потенциал уже будет правильный? Я что-то такое помню по другим задачам.

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #945195 писал(а):

И вот это потенциал уже будет правильный?

Есть лишь один способ проверить: вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке и убедиться, что стенка и правда непроницаема.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945197 писал(а):

TripleLucker в сообщении #945195 писал(а):

И вот это потенциал уже будет правильный?

Есть лишь один способ проверить: вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке и убедиться, что стенка и правда непроницаема.

Спасибо! Я попробую и расскажу, что получилось.

[TripleLucker]

Цитата:

вычислить скорость на непроницаемой (по условию) стенке

Я вот пытаюсь, но мне кажется, что я что-то не то делаю. Про уравнение Бернулли и интеграл от давления понятно. А вот распределение скорости по стенке не очень.
Нужно взять производную уже от нового суммарного потенциала (где два диполя) и навесить сопряжение? Это и будет нужная скорость или нет? Если б я понимал, как процесс в формулах происходит, и что и когда нужно использовать..

[Утундрий]

Запишите потенциал о трёх членах, продифференцируйте его, возьмите $Im$ от производной...

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945596 писал(а):

Запишите потенциал о трёх членах, продифференцируйте его, возьмите Im от производной...

Я, наверное, совсем потерянный случай, но вот, что получается:

\[w(z) = Uz - \frac{m}{{2\pi (z - ih)}} - \frac{m}{{2\pi (z + ih)}}\]

Дифференцируем:

\[\frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(z + ih)}^2}}}\]

Берем мнимую часть:

\[\begin{array}{l} \frac{{dw}}{{dz}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(z - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(z + ih)}^2}}} = U + \frac{m}{{2\pi {{(x + iy - ih)}^2}}} + \frac{m}{{2\pi {{(x + iy + ih)}^2}}} = \\ = U + \frac{m}{{2\pi ({x^2} - {{(y - h)}^2} + 2x(y - h)i)}} + \frac{m}{{2\pi ({x^2} - {{(y + h)}^2} + 2x(y + h)i)}} = \\ = U + \frac{{m({x^2} - {{(y - h)}^2} - 2x(y - h)i)}}{{2\pi ({{({x^2} - {{(y - h)}^2})}^2} - {{(2x(y - h)i)}^2})}} + \frac{{m({x^2} - {{(y + h)}^2} - 2x(y + h)i)}}{{2\pi ({{({x^2} - {{(y + h)}^2})}^2} - {{(2x(y + h)i)}^2})}} \end{array}\]

\[Im(\frac{{dw}}{{dz}}) = \frac{{ - 2mx(y - h)}}{{2\pi {{({x^2} + {{(y - h)}^2})}^2}}} + \frac{{ - 2mx(y + h)}}{{2\pi {{({x^2} + {{(y + h)}^2})}^2}}}\]

Только вот при

\[y = 0\]

зануляется скорость. Это, наверное, нормально. Или все-таки плохо?
Дальше уравнение Бернулли:

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{p}{\rho } + gy = const\]

Вот отсюда выразить давление и взять интеграл нужно, получается. Так ведь?

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):

зануляется скорость. Это, наверное, нормально. Или все-таки плохо?

Не вся скорость, а только её $y$-составляющая. Это и значит, что $y=0$ действительно непроницаемая стенка. Теперь, чтобы найти давление, нужно посчитать на стенке $x$-составляющую скорости.

TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):

альше уравнение Бернулли:
$\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{p}{\rho } + gy = const$

Член с $g$ можно выбросить.