базис с фундаментальной подпоследовательностью

[nckg]

Здравствуйте!

Существует ли банахово пространство с базисом $\{e_i\}_{i=1}^\infty$, из которого можно выделить фундаментальную подпоследовательность?

(Приведите, пожалуйста, соответствующий пример/доказательство.)

[AD]

В каком смысле понимается слово "базис"? (Банахово пространство не может быть счетномерным)

[Henrylee]

Банахово пространство суммируемых последовательностей $l_1$. Берем базис $e_n=\frac1nf_n$, где $f_n$ - координатный функционал.

[nckg]

Цитата:

В каком смысле понимается слово "базис"? (Банахово пространство не может быть счетномерным)

Уточнение: рассматривается бесконечномерное сепарабельное банахово пространство.
Под базисом понимается алгебраический базис, то есть любой элемент рассматриваемого пространства может быть представлен в виде сходящегося ряда

$$\sum_{i=0}^\infty \xi_i e_i, \quad \xi_i \in \mathbb R$$

.
(такие пространства, если не ошибаюсь, существуют)

И ещё небольшое замечание:
В случае когда пространство -- гильбертово, а $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ -- ОНБ,
можно показать, что такая ситуация (см. постановку вопроса) невозможна. Действительно, пусть

$$\forall \varepsilon>0 \quad \exists N>0\colon\quad \forall n,m>N \quad \|e_n-e_m\|<\varepsilon.$$

Тогда

$$(e_n-e_m,e_n-e_m)<\varepsilon^2,$$

откуда, с учётом ортогональности при $n \ne m$,

$$\|e_n\|^2+\|e_m\|^2<\varepsilon^2,$$

что не выполняется при достаточно малых $\varepsilon$ в силу ортонормированности.

А в случае обычного банахова пространства это доказательство не проходит...

Цитата:

Банахово пространство суммируемых последовательностей $l_1$. Берем базис $e_n=\frac1nf_n$, где $f_n$ - координатный функционал.

Не могли бы Вы уточнить, что такое координатный функционал?

[Henrylee]

nckg писал(а):

Не могли бы Вы уточнить, что такое координатный функционал?

Если $x=(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)\in l_1$, то $f_n(x)=x_n$. Вообще говоря, $f_n$ - линейные непрерывные функционалы на $l_1$, то есть принадлежт пространству $l_\infty$, но их можно рассматривать как элементы пространства $l_1$ : $f_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$-ом месте).

[nckg]

Спасибо, Henrylee!

Хороший пример, вопрос решён