Цитата:
В каком смысле понимается слово "базис"? (Банахово пространство не может быть счетномерным)
Уточнение: рассматривается бесконечномерное сепарабельное банахово пространство.
Под базисом понимается алгебраический базис, то есть любой элемент рассматриваемого пространства может быть представлен в виде сходящегося ряда

.
(такие пространства, если не ошибаюсь, существуют)
И ещё небольшое замечание:
В случае когда пространство -- гильбертово, а

-- ОНБ,
можно показать, что такая ситуация (см. постановку вопроса) невозможна. Действительно, пусть

Тогда

откуда, с учётом ортогональности при

,

что не выполняется при достаточно малых

в силу ортонормированности.
А в случае обычного банахова пространства это доказательство не проходит...
Цитата:
Банахово пространство суммируемых последовательностей

. Берем базис

, где

- координатный функционал.
Не могли бы Вы уточнить, что такое координатный функционал?