2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 базис с фундаментальной подпоследовательностью
Сообщение07.01.2008, 17:42 
Здравствуйте!

Существует ли банахово пространство с базисом $\{e_i\}_{i=1}^\infty$, из которого можно выделить фундаментальную подпоследовательность?

(Приведите, пожалуйста, соответствующий пример/доказательство.)

 
 
 
 
Сообщение07.01.2008, 18:12 
В каком смысле понимается слово "базис"? (Банахово пространство не может быть счетномерным)

 
 
 
 
Сообщение07.01.2008, 21:11 
Аватара пользователя
Банахово пространство суммируемых последовательностей $l_1$. Берем базис $e_n=\frac1nf_n$, где $f_n$ - координатный функционал.

 
 
 
 
Сообщение07.01.2008, 21:24 
Цитата:
В каком смысле понимается слово "базис"? (Банахово пространство не может быть счетномерным)

Уточнение: рассматривается бесконечномерное сепарабельное банахово пространство.
Под базисом понимается алгебраический базис, то есть любой элемент рассматриваемого пространства может быть представлен в виде сходящегося ряда $$\sum_{i=0}^\infty \xi_i e_i, \quad \xi_i \in \mathbb R$$.
(такие пространства, если не ошибаюсь, существуют)

И ещё небольшое замечание:
В случае когда пространство -- гильбертово, а $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ -- ОНБ,
можно показать, что такая ситуация (см. постановку вопроса) невозможна. Действительно, пусть
$$\forall \varepsilon>0 \quad \exists N>0\colon\quad \forall n,m>N \quad \|e_n-e_m\|<\varepsilon.$$
Тогда
$$(e_n-e_m,e_n-e_m)<\varepsilon^2,$$
откуда, с учётом ортогональности при $n \ne m$,
$$\|e_n\|^2+\|e_m\|^2<\varepsilon^2,$$
что не выполняется при достаточно малых $\varepsilon$ в силу ортонормированности.

А в случае обычного банахова пространства это доказательство не проходит...

Цитата:
Банахово пространство суммируемых последовательностей $l_1$. Берем базис $e_n=\frac1nf_n$, где $f_n$ - координатный функционал.

Не могли бы Вы уточнить, что такое координатный функционал?

 
 
 
 
Сообщение07.01.2008, 21:29 
Аватара пользователя
nckg писал(а):
Не могли бы Вы уточнить, что такое координатный функционал?

Если $x=(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)\in l_1$, то $f_n(x)=x_n$. Вообще говоря, $f_n$ - линейные непрерывные функционалы на $l_1$, то есть принадлежт пространству $l_\infty$, но их можно рассматривать как элементы пространства $l_1$ : $f_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$-ом месте).

 
 
 
 
Сообщение07.01.2008, 22:59 
Спасибо, Henrylee!

Хороший пример, вопрос решён :)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group