Такая разнообразная кривизна

[shkolnik]

Поводом к данной теме, послужило недоумение, которое, я испытал, узнав, что цилиндр, на самом деле, считается плоским (как, Евклидова плоскость).
Я предположил, что, имея окружность, невозможно определить, сечением (перпендикулярным оси) чего, она является: цилиндра или шара, или гиперболоида.
Однако, как выяснилось, кривизна гиперболоида считается отрицательной, цилиндра, нулевой, сферы, положительной.
Возможно, дело в разных определениях кривизны ?
Мне сказали, что есть Гауссова кривизна, есть просто кривизна (дифференциальная), есть еще какая-то (совсем, мне не понятная).
Меня заинтересовал вопрос, в чем разница, между определением внутренней кривизны пространства $n-1$ и определением кривизны этого же (или его частей) пространства в объемлющем (внешнем) $n, n+1,n+2,…$ пространстве ?

Если, например, мы можем отличить кривизну прямой от кривизны окружности, то почему мы не можем отличить кривизну цилиндра (через его сечение плоскостью перпендикулярной оси), от сечения сферы, аналогичной плоскостью. Получается, что вопрос наличия или отсутствия, кривизны, зависит от того, принимаем ли мы существование объемлющего пространства или нет ?
А может ли существовать такое объемлющее пространство, в котором мы можем отличить "кривизну" гиперсферы от "кривизны" гиперцилиндра ?
Я как-то слышал, что существование объемлющего пространства, для Римановых пространств, не обязательно. Означает ли это "необязательно", что разницы между принятием или непринятием существования объемлющего пространства нет ?

[Утундрий]

Будет больше толку, если зададите вопросы по очереди, выслушивая ответ на каждый и после этого переходя к следующему. Также не рекомендуется задавать один и тот же вопрос десять раз, в половине случаев переиначив его с заду наперёд и ещё в паре случаев произвольно переставив в нём слова.

[Someone]

shkolnik У поверхности есть внешняя кривизна и есть внутренняя кривизна. Та кривизна, которую мы видим, глядя на поверхность, — это внешняя кривизна, которая определяется расположением поверхности в пространстве.
Внутренняя (гауссова) кривизна определяет отличие поверхности от плоскости на данном участке. Кусок цилиндра мы можем без проблем раскатать на плоскость, поэтому его внутренняя кривизна равна нулю. Кусок сферы на плоскость не раскатывается: его придётся растягивать для этого. Кусок гиперболоида, наоборот, придётся сжимать.
А точные определения смотрите в учебнике по дифференциальной и римановой геометрии.

[epros]

shkolnik в сообщении #945399 писал(а):

Если, например, мы можем отличить кривизну прямой от кривизны окружности

А Вы задумывались чем именно они отличаются?

[Munin]

shkolnik в сообщении #945399 писал(а):

Поводом к данной теме, послужило недоумение, которое, я испытал, узнав, что цилиндр, на самом деле, считается плоским (как, Евклидова плоскость).

Есть внешняя кривизна, а есть внутренняя. Цилиндр имеет нулевую внутреннюю кривизну, и ненулевую внешнюю.

У линии, заметьте, есть только внешняя кривизна, а внутренняя всегда тождественно равна нулю.

shkolnik в сообщении #945399 писал(а):

Мне сказали, что есть Гауссова кривизна, есть просто кривизна (дифференциальная), есть еще какая-то (совсем, мне не понятная).

Кривизн куча разных, и ни одна из них не называется "просто кривизна", хотя жаргонно, когда и так понятно, о чём идёт речь, могут говорить просто "кривизна" без уточнений.

shkolnik в сообщении #945399 писал(а):

Меня заинтересовал вопрос, в чем разница, между определением внутренней кривизны пространства $n-1$ и определением кривизны этого же (или его частей) пространства в объемлющем (внешнем) $n, n+1,n+2,…$ пространстве ?

Чтобы исследовать внешнюю кривизну, к поверхности проводят касательную плоскость:



и теперь можно задать поверхность формулой, описывающей величину отклонения от этой касательной плоскости. В квадратичном (первом неисчезающем) приближении, эта формула является квадратичной формой, и все поверхности оказываются локально подобны сфере или седлу (в $n$-мерном пространстве - $\lfloor(n-1)/2\rfloor$ разновидностей) или боковой поверхности цилиндра (в $n$-мерном пространстве - $\lceil(n-1)/2\rceil$ разновидностей). Сфера в двумерном случае считается имеющей положительную кривизну, седло - отрицательную. Цилиндр в этом смысле нейтральный случай, и имеет нулевую кривизну. В $n$-мерном случае одна и та же поверхность может иметь в одних направлениях положительную кривизну, в других отрицательную, в третьих нулевую.

Чтобы исследовать внутреннюю кривизну, на поверхность наносят сетку координат:



и изучают отклонение внутренних расстояний по этой сетке от обычных расстояний, которые можно было бы ожидать на плоскости (по теореме Пифагора). Сетку можно сделать прямоугольной в любой точке, но нельзя - одновременно по всей поверхности, поэтому её исследуют как функцию. Даже если сетку сделать прямоугольной в точке, то в окрестности этой точки квадратично начнут нарастать отклонения, либо в плюс, либо в минус. С этими двумя случаями связывают положительную и отрицательную кривизну.

Рисунки А. Т. Фоменко взяты из книг Мищенко-Фоменко.

[Red_Herring]

Если говорить о поверхности в 3х мерном евклидовом пространстве, то есть главные кривизны $\kappa_1,\kappa_2$, а именно, собственные значения матрицы квадратичной формы

Munin в сообщении #945653 писал(а):

В квадратичном (первом неисчезающем) приближении, эта формула является квадратичной формой

(и им соответствуют радиусы кривизны $R_1=1/\kappa_1$, $R_2=1/\kappa_2$), их сумма $\kappa_1+\kappa_2$ называемая средней кривизной и их произведение $\kappa_1\kappa_2$ называемое гауссовой кривизной.

Гауссова кривизна (и только она) сохраняется при изгибании поверхности без растяжений и может быть охарактеризована в рамках внутренней геометрии поверхности как риманова многообразия.

Кривая на плоскости (или в пространстве внутренней кривизны не имеет), но у нее есть одна кривизна (главная кривизна $\kappa_1$, и соответствующий радиус кривизны), характеризующая скорость поворота касательной к кривой; кривая в пространстве имеет еще и кручение, характеризующее скорость поворота касательной плоскости.

[Munin]

Ну, это всё низкомерные детали. В физике намного интересней случай 4-мерного искривлённого пространства (4-мерного многообразия). А там расцветают некоторые детали, которые в математике излагаются под заголовком $n$-мерных пространств.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #945699 писал(а):

Ну, это всё низкомерные детали. В физике намного интересней случай 4-мерного искривлённого пространства

Ну, это смотря в какой физике. В коротковолновой оптике именно радиусы кривизны фронта волны определяют, когда и где будет слабая фокусировка.

[Munin]

Да, пардон. Физика, конечно, бывает разная. Бывают и упругие стержни и оболочки, и мыльные пузыри. Бывает и геометрическая оптика с каустиками. И волновая с волноводами. Да что там, даже бильярды.

Так что я так, протелепатил. Из того, что тема в физическом разделе, и со словом кривизна. Может быть, неправильно.