Тригонометрия

[Qazed]

Здравствуйте, есть/будут несколько вопросов по тригонометрия, прошу Вашей помощи, чтоб в них разобраться.
Вопрос 1.
Каким квантором связано $n$ в определениях функций $\mathrm{Arcsin} \, x$ и $\mathrm{Arccos} \, x$?

$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \forall n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$

$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \exists n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$

[provincialka]

Там $\pm$ пропущен.
Но если его вписывать, тоже потребуется указать, как выбрать знак.

А вообще запись не очень корректная. $\operatorname{Arccos} x$ это так называемая многозначная функция, "Значением" которой является не конкретное число, а все множество. Впрочем, этот момент можно трактовать и по-другому.

[Qazed]

Спасибо, поправил. А как указать какой знак?

[provincialka]

Так может быть любой. То есть или-или. Каким знаком "или" обозначается?
А насчет первого вопроса про квантор: ну уж, сами сообразите. Раз вы такой специалист по формализации

[Qazed]

Разве знак $\pm$ не трактуется как "$+$ или $-$"?

-- 12.12.2014, 23:36 --

provincialka в сообщении #945191 писал(а):

Раз вы такой специалист по формализации

Каждый сходит с ума по-своему

[Aritaborian]

Да, трактуется. Так что, прямо так и пишем: $\pm$. Никаких проблем ;-) Если очень хочется, можно написать два выражения, а между ними значок $\lor$.

[Qazed]

Aritaborian, благодарю Вас

[gefest_md]

Там кажется должно быть $\pi n$ вместо $2\pi n$, если все же, например, $\left(0,\frac{3\pi}{2}\right)\in\operatorname{Arccos}.$ Определите $\operatorname{Arccos}$ как отношение.

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 2.
В литературе по элементарной математике встречаются два варианта записи формул по тригонометрии: с допустимыми значениями (1) и без (2), например,

$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \quad \alpha, \beta \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z \right), \quad (1) $$

$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}. \quad (2) $$

Могут ли при преобразованиях возникнуть случаи, когда эти области определения могут пригодится? Могу ли я быть уверен, что бесплатно используя формулы из учебника, я в итоге не получу новых корней или потеряю старые? Надеюсь, что я правильно выразился.

[gris]

В этом случае области определения правой и левой части совпадают, так что применение этой формулы именно в таком виде не приведёт к изменению множества корней. Вот если формулу переписать как $(1 + \tg \alpha \tg \beta) \cdot \cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha-\beta)$, то необходимо тащить с собой область определения левой части, иначе могут появиться постронние корни. А при применении справа налево — пропасть

[Qazed]

Спасибо, т. е. в общем случае:

$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb R \colon 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta},$$

ведь можно сказать, что неопределённость = неопределённость?

[provincialka]

Слово "неопределенность" здесь не совсем подходит. Это термин и он имеет определенное значение. Но в общем я с вами согласна: если левая и правая часть имеют одинаковые области определения и равны там, где обе существуют, то это тождество. Но другие люди могут иметь свое мнение по этому поводу.

[gris]

Я говорил лишь про совершенно школьные правила применения преобразований выражений. Вы, похоже, строите некую формализованную теорию. Но слово "неопределённость" имеет определённый смысл. А Вы, мне кажется, употребляете его в таком смысле: "две функции называются равными, если у них совпадают области определения и в каждой их точке значения функций равны." Можно сказать так, что если в некотором тождестве не указана область его применения, то по умолчанию она равна пересечению областей опредделения всех функций (в тч сложных), входящих в выражение. В своей теории Вы можете по разному определять равенство в точке, но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.

[provincialka]

gris в сообщении #955057 писал(а):

но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.

Почему? Вполне нормально. На нет и суда нет.
Другое дело, когда области определения левой и правой частей не совпадают. Тогда тождество, записанное "для всех $x,y$" может стать источником ошибок. У меня так случилось и я даже написала статейку для школьников об этом. В "Математика в школе".

[gris]

provincialka, согласен

(Оффтоп)

Как хорошо с утра на кухне.
Все спят, салаты и вино
остались, хоть и некрасивы,
но вкусны. Можно в форум
сходить, не опасаясь криков,
что Модный приговор
начался, у дитя уроки,
собака просится и вообще.