Устойчивость линейных уравнений с запаздыванием

[V.V.]

Рассмотрим систему $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bx(t-h)$. Здесь $x(t)$ --- вектор из $n$ компонент, $A$, $B$ --- постоянные $n\times n$-матрицы.

Для её асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения $\mbox{\rm det}(\lambda E-A-Be^{-\lambda h})=0$ имели бы отрицательную действительную часть.

Проблема состоит в том, что исследовать, где находятся корни этого уравнения, довольно сложно.

Вопрос: какие имеются относительно просто проверяемые достаточные условия для устойчивости? А какие необходимые?

[Zai]

V.V. писал(а):

Рассмотрим систему $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bx(t-h)$

В технических задачах по определению устойчивости систем управления не все компоненты вектора состояния системы имеют равное запаздывание $h. Как это записать?

В случае, когда n=1 система решается аналитически. В случае n>1 вряд ли следует ожидать новых качественных результатов.

[V.V.]

Zai писал(а):

В технических задачах по определению устойчивости систем управления не все компоненты вектора состояния системы имеют равное запаздывание $h. Как это записать?

Если два запаздывания, то так: $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bx(t-h_1)+Cx(t-h_2)$. Если распределенное запаздывание, то с помощью интеграла.

Zai писал(а):

В случае n>1 вряд ли следует ожидать новых качественных результатов.

А какие старые результаты?

[Zai]

V.V. писал(а):

А какие старые результаты?

Устойчивость с постоянным по времени запаздыванием дает зоны по частоте. На некоторых частотах происходит затухание, на некоторых возбуждение колебаний.

[V.V.]

Zai писал(а):

Устойчивость с постоянным по времени запаздыванием дает зоны по частоте. На некоторых частотах происходит затухание, на некоторых возбуждение колебаний.

А где об этом написано?

[Zai]

V.V. писал(а):

А где об этом написано?

Трудно что-то посоветовать новое. А какой у Вас подбор литературы по этой теме?

[V.V.]

Zai писал(а):

V.V. писал(а):

А где об этом написано?

Трудно что-то посоветовать новое. А какой у Вас подбор литературы по этой теме?

Ну, есть кое-что. Да и просто проверяемые достаточные условия тоже есть.
Просто вдруг есть что-то мной пропущенное.

[Zai]

V.V. писал(а):

Просто вдруг есть что-то мной пропущенное.

Самый важный вопрос о устойчивости линейных уравнений с запаздыванием состоит в том, что можно ли использовать систему управления в следующей(не первой) зоне устойчивости. Где это использовалось и каковы результаты.

[V.V.]

Меня не интересует инженерная трактовка систем с запаздыванием и как можно их использовать на практике. Меня интересуют несколько конкретных математических задач, одна из которых изложена выше.

В "Автоматике и телемеханике" в статьях Родионова (1996) и Баркина (2006) были выведены некоторые достаточные условия. Меня интересует, какие еще достаточные и какие необходимые условия асимптотической устойчивости известны специалистам.