Найти основные статистические характеристики

[Maik2013]

Добрый день!

Дано функция

$$ f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|} $$

найти $M(X)$-? $D(X)$-? $\sigma(X)$-?
Поскольку я знаю

$$ M(X)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx, \quad D(X)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}x^2f(x)dx-(M(x))^{2}, \quad \sigma(X)=\sqrt{D(X)} $$

Но тут не задано интервал тогда

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\cdot\dfrac{1}{2}e^{-|x|}dx $$

а далее не знаю как, помогите пожалуйста решит.

(Оффтоп)

Думаю тут не было нарушение, чтобы тему отправить на Карантин. Но я угадываю почему тема пошла на Карантин

Правильно решил посмотрите пожалуйста

$$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|} $$

$$ M(X)=\int_{-\infty}^{0}x \cdot \dfrac{1}{2}e^{x}dx+\int_0^{+\infty}x \cdot \dfrac{1}{2}e^{-x}dx $$

$$ \int_{-\infty}^{0}x \cdot \dfrac{1}{2}e^{x}dx= xe^{x}\Big|_{-\infty}^{0}-\dfrac{1}{2}e^{x}\Big|_{-\infty}^{0}= (0e^0-(-\infty)e^{-\infty})-\dfrac{1}{2}e^{0}-\dfrac{1}{2}e^{-\infty}=-\dfrac{1}{2} $$

$$ \int_0^{+\infty}x \cdot \dfrac{1}{2}e^{-x}dx= -xe^{x}\Big|_{0}^{+\infty}-\dfrac{1}{2}e^{-x}\Big|_{0}^{+\infty}= (-\infty e^{-\infty}+(0)e^{0})-\dfrac{1}{2}e^{+\infty}+\dfrac{1}{2}e^{-0}=\dfrac{1}{2} $$

[photon]

А если бы там не было модуля, смогли бы?

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: неподходящий раздел

[Brukvalub]

photon в сообщении #944408 писал(а):

А если бы там не было модуля, смогли бы?

Без модуля и Эйлер бы не сдюжил - интеграл разойдется.

[photon]

Если выкинуть - да, если избавиться грамотно - то нет.

[Maik2013]

photon
Brukvalub
Ответ в книге $M(X)=0$ $D(X)=4$ как получена не знаю.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Maik2013 в сообщении #944403 писал(а):

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\cdot\dfrac{1}{2}e^{-|x|}dx $$

Вот интеграл. Приведите, пожалуйста, попытки вычисления (руками и головой) этого интеграла и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[upgrade]

матожидание можно еще так:
$x\cdot \frac{1}{2}e^{-|x|}$ - нечетная, интеграл от $-\infty$ до $+\infty$ равен нулю.

[Brukvalub]

Maik2013 в сообщении #944868 писал(а):

photon
Brukvalub
Ответ в книге $M(X)=0$ $D(X)=4$ как получена не знаю.

Ответы получены вычислением значений несобственных интегралов, сами интегралы написаны, исходя из определений искомых величин.

[Maik2013]

upgrade
Надо это доказать !

[upgrade]

Maik2013 в сообщении #945088 писал(а):

Надо это доказать !

что именно? что функция нечетная или что интеграл нечетной по всей области равен нулю?

[Brukvalub]

При подсчете матожидания в первом слагаемом потерян множитель $\frac{1}{2}$, но на ответ это не влияет, ответ - верный.

-- Пт дек 12, 2014 20:51:20 --

upgrade в сообщении #945096 писал(а):

Maik2013 в сообщении #945088 писал(а):

Надо это доказать !

что именно? что функция нечетная или что интеграл нечетной по всей области равен нулю?

$x$ - тоже нечетная функция, но вот интеграл от нее по всей числовой прямой - не сходится, хотя и равен 0 в смысле главного значения.

[Maik2013]

Brukvalub
Вот так да?

$$ \int_0^{+\infty}x \cdot \dfrac{1}{2}e^{-x}dx= -\dfrac{1}{2}xe^{x}\Big|_{0}^{+\infty}-\dfrac{1}{2}e^{-x}\Big|_{0}^{+\infty}=\dfrac{1}{2} (-\infty e^{-\infty}+(0)e^{0})-\dfrac{1}{2}e^{+\infty}+\dfrac{1}{2}e^{-0}=\dfrac{1}{2} $$

[Brukvalub]

Да.