Норма понижающих и повышающих операторов в КТП

[Ascold]

Пусть $a_p$ и $a_p^+$ - операторы рождения и уничтожения частиц(для проквантованного скалярного поля $\varphi(x)$ ), $|0>$ - основное состояние. Тогда состояние, соотв. частице с импульсом $p$, будет $|p> =a_p^+|0>$.
Tong в его книжке про каноническое квантование пишет, что подобно тому, как в КМ собственные состояния операторов импульса и координаты нормированы на дельта-функцию, то же имеет место с собственными состояниями оператора $\varphi(x)$ и сопряжённого ему импульса $\pi(x)$.
Далее пишется $<0|a_pa_p^+|0>=<p|p|> =2\pi^3\delta(0)$ (1) и $<|x|x>=\delta(0)$ (2).
Мне кажется, что для вывода соотношений (1) и (2) нужно ещё и уравнение Шрёдингера, представить состояние в виде функции, найти собственные функции соотв. операторов - прямо как в обычной КМ. Но сколь это обосновано? Даже если мы интерпретируем $|p> =a_p^+|0>$ как существование частицы с импульсом $p$, то что в релятивистской нашей теории позволяет нам пользоваться уравнением Шрёдингера? Или можно и без него как-то понять, что такое $|p>$ и $|x>$ в виде волн и вывести из этого (1)-(2) ?

[amon]

Ascold в сообщении #944275 писал(а):

Далее пишется $<|a_pa_p^+|0>=<p|p|> =2\pi^3\delta(0)$ (1) и $<|x|x>=\delta(0)$ (2).

Какая-то фигня там пишется. Эта штука считается так. Берется коммутатор $[a_{p_1},a^+_{p_2}]=2\pi^3\delta(p_1-p_2)$, подставляется в Ваше выражение $\left\langle0\right\rvert a_p a_p^+\left\lvert 0\right\rangle=\left\langle0\right\rvert a_p^+ a_p +2\pi^3\delta(0) \left\lvert 0\right\rangle$. Первый член дает 0, а второй - Ваш ответ. Запись $\left\langle0\right\rvert p \left\lvert 0\right\rangle$ бессмысленна, поскольку $p$ не оператор, а с-число.

[Ascold]

Цитата:

Запись $\left\langle0\right\rvert p \left\lvert 0\right\rangle$ бессмысленна, поскольку $p$ не оператор, а с-число.

Пардон, это я там лишних палок наставил - редко латеховской записью пользуюсь. Должно быть:
$<0|a_pa_p^+|0>=<p|p> =(2\pi)^3\delta(0)$ (1) и $<x|x>=\delta(0)$ (2).
За ответ с коммутатором спасибо, оказывается, так просто.
По ходу возник ещё один вопрос: вычисление амплитуды перехода. В книжке написано: "Приготовим частицу в точке y. Какова амплитуда её нахождения в точке x? Её можно посчитать как $<0|\varphi(x)\varphi(y)|0>$" и далее идёт вычисление. А почему это выражение является "амплитудой перехода"? Т.е. я знаю, как считаются средние от операторов в КМ, но почему тогда мы берём именно в состоянии $|0>$? Амплитуда перехода - это вероятность перехода или что?
Кстати, ещё при изучении КМ возник вопрос, но я счёл его малозначимым. При построении матричной формулировки КМ указывается, что диагональные элементы оператора $L$ равны собственным значениям оператора в данном состоянии, а недиагональные $L_m_n$- соответствуют переходам между n-ным и m-ым состояниями. А в каком смысле "соответствуют"?

[amon]

(Оффтоп)

Если раньше ни кто не откликнется, отпишусь ближе к ночи (часов через 6-7)

[amon]

amon в сообщении #944336 писал(а):

Кстати, ещё при изучении КМ возник вопрос, но я счёл его малозначимым.

Давайте с квантовой механики и начнем. Есть у нас такой оператор координаты $\hat{q}$, и хотим мы найти амплитуду вероятности найти частицу в точке $q$ в момент времени $t$, исходно находившуюся в точке $q_0$ в момент времени 0. Согласно великим и ужасным правилам квантовой механики, эта амплитуда будет $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$ где $\left\lvert q,t\right\rangle$ - собственная функция оператора $\hat{q}$ в момент времени $t$. Если частиц много, то надо вводить $k$ - "номер степени свободы" ($q_k$), если $k$ становится непрерывным индексом $x$, а координата - функцией $\varphi(x)$, то такая система называется полем. Таким образом, $\varphi$ является аналогом $q$, а $x$ - аналогом $k$. Тогда амплитуда $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$ станет амплитудой $\left\langle \varphi(y)\right.\left\lvert \varphi(x)\right\rangle$. Это амплитуда вероятности найти конфигурацию поля $\varphi(y)$ при начальной конфигурации $\varphi(x)$. Если состояние $\left\lvert \varphi(x)\right\rangle$ есть $\hat{\varphi}^+(x)\left\lvert 0\right\rangle$, то на полевом сленге говорят, что задана частица в точке $x$.

Ascold в сообщении #944323 писал(а):

недиагональные $L_m_n$- соответствуют переходам между n-ным и m-ым состояниями. А в каком смысле "соответствуют"?

В прямом $L_{mn}=\left\langle n\right\lvert\hat{L}\left\lvert m\right\rangle$

[Ascold]

Цитата:

Есть у нас такой оператор координаты $\hat{q}$, и хотим мы найти амплитуду вероятности найти частицу в точке $q$ в момент времени $t$, исходно находившуюся в точке $q_0$ в момент времени 0. Согласно великим и ужасным правилам квантовой механики, эта амплитуда будет $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$ где $\left\lvert q,t\right\rangle$ - собственная функция оператора $\hat{q}$ в момент времени $t$.

Буду признателен, если ткнёте в ЛЛ3 или ещё куда, где это объясняется(я про поиск амплитуды вероятности) нахождения частицы в точке $q_0$ по формуле $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$.
видимо, я что-то пропустил - нигде не встречал формулы типа
$\Psi(x,t)=\int \psi _x^*(p,t)\psi_0(p,0)dp$.
Ясно, что если волновую функцию разложить по собственным, $\Psi(p,t)=\sum c_x\psi_x(p,t)$, то отсюда $c_x=\int \psi_x^*(p,t)\psi(p,t)dp$ - амплитуда состояния(x,t). Но по-моему, это всё-таки не эквивалентно $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$

Цитата:

В прямом $L_{mn}=\left\langle n\right\lvert\hat{L}\left\lvert m\right\rangle$

Это я знаю. Однако в книге сказано, что "недиагональные элементы, не равные нулю, указывают на возможность перехода из n-го состояния в m-ное". Мне это понятно разве что на каком-то интуитивном уровне, но строгого объяснения, почему это так, какой ещё физический смысл есть у этих $L_{mn}$ я не нашёл и сам пока не догадываюсь, как это сделать.

[amon]

А такую формулу встречали? $W_{pp'}(t)= \int \psi _p^*(x,t)\psi_{p'}(x,0)dx$ И чем она хуже/лучше? Величина $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$ это не волновая функция, а амплитуда перехода. Во, Вы Фейнмана-Хибса "Квантовая механика и интегралы по траекториям" читали? Если нет, то очень рекомендую просмотреть хотя бы по диагонали.

[Ascold]

Цитата:

Величина $\left\langle q,t\right.\left\lvert q_0,0\right\rangle$ это не волновая функция, а амплитуда перехода.

Ясно, значит, у меня есть серьёзный пробел в знании квантов - я волновую функцию и амплитуду перехода отождествляю(фразу "амплитуда перехода" впервые увидел позавчера).

Цитата:

Вы Фейнмана-Хибса "Квантовая механика и интегралы по траекториям" читали?

Нет, не читал. Пошёл читать.