Задачка по электродинамике.

[Katmandu]

Помогите разобраться с условием задачи.

Бесконечный цилиндр радиуса $R$ заряжен равномерно по объему. На единицу длины слоя приходится заряд $\tau (\tau > 0)$. Вещество слоя диэлектрик с $\varepsilon = 3$. Найти потенциал $\varphi (r)$ электрического поля. (Координаты цилиндрические, ось $Oz$ совмещена с осью цилиндра.



Не понятно полый цилиндр или нет. Но если он равномерно заряжен по объему, то видимо не полый.

На единицу длины слоя приходится заряд. Это значит что мы берем некое кольцо, и это и будет единица длины слоя?

С другой стороны, сказано что вещество слоя диэлектрик, тогда как про вещество внутри ничего не сказано, значит цилиндр всё-таки полый?

[Viktor92]

Я так понимаю здесь имеется ввиду всё же заполненный цилиндр, а единица длины слоя это бесконечно маленький "блинчик" отрезанный от этого цилиндра. Надо воспользоваться теоремой Гаусса, затем найдя напряжённость, можно найти потенциал.

[Katmandu]

Viktor92 в сообщении #944023 писал(а):

Я так понимаю здесь имеется ввиду всё же заполненный цилиндр, а единица длины слоя это бесконечно маленький "блинчик" отрезанный от этого цилиндра.

Хорошо, постараюсь рассмотреть блинчик.
Рассмотрим блинчик высотой $l$


Окружим этот блинчик цилиндрической поверхностью $K$. Ось которой совпадает с осью $Oz$. И радиусом $r>R$. Высота = $l$


По теореме гаусса получаем: $ E 2 \pi r l = \dfrac {q} {\varepsilon_0} $
$E$ это напряженность поля в точке лежащей на поверхности $K$

Далее нужно разобраться с q
Я думаю что она должна быть : $ q = \tau l$

Тогда уже можно и выразить напряженность поля
$ E = \dfrac {\tau} {\varepsilon_0 2 \pi r } $

-- 11.12.2014, 03:09 --

Katmandu в сообщении #944037 писал(а):

По теореме гаусса получаем: $ E 2 \pi r l = \dfrac {q} {\varepsilon_0} $

Возникает также вопрос когда использовать $\dfrac {q} {\varepsilon \varepsilon_0}$ и когда $\dfrac {q} {\varepsilon_0}$.
Я понимаю так. Первый случай мы рассматриваем когда точка наблюдений находится внутри цилиндра. А второй случай, когда точка наблюдения вне цилиндра?

[Viktor92]

Ну в диэлектрике напряжённость поля уменьшается на величину диэлектрической проницаемости, т.е. в $\varepsilon$ раз, так что вы всё правильно сказали.

[Katmandu]

В итоге нашел напряженность
$E = \dfrac {\tau} {2 \pi r \varepsilon_0} , r > R$
$E = \dfrac {\tau r} {2 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} , r < R$

Дальше ищем потенциал, интегрируя E.

Но хотелось бы немного уточнить о потенциале.

Когда мы хотим перенести заряд из точки $a$ в точку $b$ мы выполняем некую работу.
$W = - \int Fds = -q \int Eds$.

Пусть наш заряд будет единичным. Получается, что работа зависит только от точек $a$ и $b$.
отсюда следует вывод что $ \int Eds$ можно выразить с помощью функции зависящей от $a$ и $b$.

Для этого помимо точек $a$ и $b$ выбирают еще одну точку $P_0$
Далее работу необходимую для переноса точки из $a$ в $P_0$ обозначают $-\varphi{(a)}$.
А работу переноса из точки $P_0$ в точку $b$ обозначают как $\varphi{(b)}$

Получается
$W = \varphi{(b)} - \varphi{(a)} = -\int Eds$.

Т.е. для определения потенциала нужно выбрать отправную точку $P_0$.

Верно?

[Viktor92]

Вообще да, ведь нужно потенциал от какого-то уровня отмерять, при этом какую точку не выбери, разность потенциалов останется одна и та же, но в данной задачи, думаю надо выбрать эту точку на бесконечности, как и в большинстве задач по электростатике подобного рода.

[Katmandu]

т.е. считать интеграл
$\varphi(r) = - \int_{\infty}^{r} E dr$

-- 11.12.2014, 05:15 --

и тогда если r' > R , то получается

$\varphi(r') = \dfrac {\tau \ln(r)} {2 \pi \varepsilon_0} |^{r'}_\infty = \dfrac {\tau \ln(\frac {r'} {\infty})}{2 \pi \varepsilon_0} $

По моему бесконечность не совсем удачная точка

-- 11.12.2014, 05:26 --

Katmandu в сообщении #944100 писал(а):

В итоге нашел напряженность
$E = \dfrac {\tau} {2 \pi r \varepsilon_0} , r > R$
$E = \dfrac {\tau r} {2 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} , r < R$

Может быть попробовать эту точку взять на оси $z$
тогда если $r'<R$, то

$ \varphi (r')$

-- 11.12.2014, 05:26 --

Katmandu в сообщении #944100 писал(а):

В итоге нашел напряженность
$E = \dfrac {\tau} {2 \pi r \varepsilon_0} , r > R$
$E = \dfrac {\tau r} {2 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} , r < R$

Может быть попробовать эту точку взять на оси $z$
тогда если $r'<R$, то

$ \varphi (r') = \int_0^{r'} \dfrac {\tau r} {2 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} dr = \dfrac {\tau r^2} {4 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} |^{r'}_0 = \dfrac {\tau r'^2} {4 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} $

-- 11.12.2014, 05:48 --

Если $r' > R$, тогда
$\varphi(r') = \int_0^R \dfrac {\tau r} {2 \pi R^2 {\varepsilon} {\varepsilon_0}} dr + \int_R^{r'} \dfrac {\tau} {2 \pi r \varepsilon_0} dr = \dfrac {\tau } {4 \pi {\varepsilon} {\varepsilon_0}} + \dfrac {\tau \ln(\frac {r'} {R})} {2 \pi \varepsilon_0} $

кажется со знаками что то не так.

[DimaM]

Katmandu в сообщении #944115 писал(а):

кажется со знаками что то не так

Не так. Минус перед интегралом забыли.

-- 11.12.2014, 11:56 --

Viktor92 в сообщении #944113 писал(а):

но в данной задачи, думаю надо выбрать эту точку на бесконечности

В данной задаче на бесконечности плохо. Лучше на оси цилиндра (ну или на его поверхности).