Теория групп,правые и левые разложения,нормальные подгруппы

[RrX]

Добрый день. Возникла проблема с пониманием одного момента, начинающегося доказательством теоремы и заканчивающегося нюансом разложений группы по её подгруппе.
Занимаюсь по книжке "Теорема Абеля в задачах и решениях"( книга, конечно, хорошая, но иногда ей не хватает строгости ).
Теорема: подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда правые и левые разложение группы по ней совпадают.
Собственно, док-во( точнее, его часть ):
Пусть правое и левое разложение совпадают, и $a$ - произвольные элемент из $N$, $g$ - произвольный элемент из $G$. Так как классы $gN$ и $Ng$ имеют общий элемент $g$, то они совпадают.
Здесь, под $N$ b $G$ подразумеваются подгруппа и группа соответственно.
Так что именно непонятно: почему классы $gN$ и $Ng$ должны совпадать? Ведь такое правило с общим элементом есть только для двух правых или двух левых смежных классов.
Далее, если разложения совпадают, то почему обязательно $gN = Ng$. Разве не может быть $gN = Nb$, где $b$ - другой элемент группы $G$, не принадлежащий подгруппе $N$?

[ex-math]

Вы же сами предполагаете, что правое и левое разложения совпадают, т.е. состоят из одних и тех же непересекающихся подмножеств $G$. Поэтому, действительно, $gN=Nb$ при некотором $b$. Как мы видим, $g\in Nb$. Но так же и $g\in Ng$. Значит, $Nb=Ng$.