Добрый день. Возникла проблема с пониманием одного момента, начинающегося доказательством теоремы и заканчивающегося нюансом разложений группы по её подгруппе.
Занимаюсь по книжке "Теорема Абеля в задачах и решениях"( книга, конечно, хорошая, но иногда ей не хватает строгости ).
Теорема: подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда правые и левые разложение группы по ней совпадают.
Собственно, док-во( точнее, его часть ):
Пусть правое и левое разложение совпадают, и

- произвольные элемент из

,

- произвольный элемент из

. Так как классы

и

имеют общий элемент

, то они совпадают.
Здесь, под

b

подразумеваются подгруппа и группа соответственно.
Так что именно непонятно: почему классы

и

должны совпадать? Ведь такое правило с общим элементом есть только для двух правых или двух левых смежных классов.
Далее, если разложения совпадают, то почему обязательно

. Разве не может быть

, где

- другой элемент группы

, не принадлежащий подгруппе

?