Задачи на законы сохранения

[Viktor92]

Есть две задачи, которые я вроде решил, но решения не совсем совпадают с ответами, подскажите в чём ошибка.
1). На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки. Расстояние от дна пробирки до стола равно длине пробирки $l$. Нить пережигают, и за время падения муха перелетает со дна в верхний конец пробирки. Определить время падения пробирки. (Ответ: $t=\sqrt{l/g}$)
Моё решение:
В верхней точке потенциальная энергия пробирки и мухи равна $2mgl$, но муха перелетев, оказывается в точности в том же месте, как и до пережигания нити, значит её потенциальная энергия не изменилась и будем рассматривать только потенциальную энергию пробирки $mgl$. В нижней точке (при контакте со столом) кинетическая энергия пробирки будет (делаем допущение , что на таком малом расстоянии падение равномерное) $m\frac{l^2/t^2}{2}$. Приравнивая потенциальную и кинетические энергии пробирки из закона сохранения энергии получается ответ: $t=\sqrt{l/2g}$, где ошибка?
2)Два маятника в виде шариков разных масс $m_1$ и $m_2$, подвешены на нитях разной длины $l_1$ и $l_2$, так что шарики соприкасаются. Первый шарик отводят в плоскости нити на небольшой угол $\beta$ и отпускают. На какие углы отклонятся маятники после упругого удара? (Ответ: $\beta_1=\beta(m_1-m_2)/(m_1+m_2)$ и $\beta_2=2\beta m_1(l_1/l_2)/(m_1+m_2)$)
Решение:
Сразу сделаем допущение, т.к. угол $\beta$ маленький то высота $h_1$ относительно начального положения маятников, на которую поднимается первый маятник равна : $h_1=l_1-l_1cos\beta\approx{l_1sin\beta}\approx{l_1\beta}$.
Найдём скорость первого маятника в нижней точке $v_0$
Из $m_1v_0^2/2=m_1l_1\beta g$ получим , что $v_0^2=2l_1\beta g$
Составим такую систему из закона сохранения энергии и сохранения импульса:

$$ \begin{cases} m_1v_0^2/2=m_1v_1^2/2+m_2v_2^2/2\\ m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2\\ \end{cases} $$

, где $v_1$ и $v_2$ - скорости первого и второго маятника после соударения соответственно.
Решения этой системы есть
$v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_0$ и $v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_0$
Учитывая, что удар абсолютно упругий, потери энергии нет, то можно как бы обратить задачу, т.е. скорости $v_1$ и $v_2$ примут такие же значения, если оба маятника отпустить с некоторых высот $h_1=l_1\beta_1$, $h_2=l_2\beta_2$, на эти высоты поднимутся маятники после соударения.
Из закона сохранения энергии для обоих маятников (используя решения системы) можно записать:
$l_1\beta_1m_1g=m_1l_1\beta g\frac{(m_1-m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}$ и
$l_2\beta_2m_2g=2m_2l_1\beta g\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}$
Выразив углы получаем ответ:
$\beta_1=\beta(m_1-m_2)/(m_1+m_2)$ и $\beta_2=2\beta m_1^2(l_1/l_2)/(m_1+m_2)$
Как видно первый ответ совпадает с правильным, а второй отличается только квадратом $m_1^2$. В чём же ошибка или в учебнике одни опечатки...

[warlock66613]

Я не уверен, что учёт следующих замечаний автоматически приведёт к правильному решению, но эти некорректности в вашем решении бросаются в глаза.
Нельзя считать, что пробирка летела равноверно! Что за странная мысль? Вначале её скорость была равна нулю, а в конце - нет. Это совершенно неравномерно. Считайте падение равноускоренным.
Муха летает не рядом с пробиркой, а внутри неё. Это важно.

-- 10.12.2014, 01:44 --

Да, и если задача "на законы сохранения", это не значит, что надо пользоваться только законами сохранения. Используйте весь свой арсенал, решите задачу - а потом уже можно будет подумать, нельзя ли решить иначе.

-- 10.12.2014, 01:50 --

Таки в первой задаче у меня действительно получилось $\sqrt{l/g}$.

-- 10.12.2014, 02:24 --

По второй задаче - задайтесь какими-нибудь числовыми данными, подставьте в свою проблемную вторую формулу и посмотрите, что выйдет. Если правильно сделаете, результат должен навести вас на мысль.

[DimaM]

Viktor92 в сообщении #943278 писал(а):

$h_1=l_1-l_1\cos\beta\approx{l_1\sin\beta}\approx{l_1\beta}$

$1-\cos\beta\ne\sin\beta$, даже приближенно.

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #943315 писал(а):

Муха летает не рядом с пробиркой, а внутри неё. Это важно.

То что муха летает в пробирке, может равносильно подобной задаче?(хотя в ней человек напрямую взаимодействует с лодкой, а муха в пробирке, только разве через возмущение воздушного потока может взаимодействовать)
Лодка длиной $L$ и массой $M$ с человеком на корме массой $m$ неподвижно стоит у причала на спокойной воде. Насколько отодвинется лодка от причала, когда человек пройдёт с кормы на нос?
Мои рассуждения:
Лодка и человек - замкнутая система, значит её момент импульса сохраняется постоянным и равным 0,т.е.
$m(v_\text{л}-v_\text{ч})+Mv_\text{л}=0$ , умножим обе части на $t$, за которое будет пройден путь человеком по лодке и лодкой по воде, получим $(x-l)m+Mx=0$, откуда $x=ml/(M+m)$
Применяя подобное к задаче один из первого поста, получаю опять не то $t=\sqrt{2l/g}$, двойка "переехала" в числитель...

warlock66613 писал(а):

По второй задаче - задайтесь какими-нибудь числовыми данными, подставьте в свою проблемную вторую формулу и посмотрите, что выйдет. Если правильно сделаете, результат должен навести вас на мысль.

Задался, понял что угол "великоват" получается, но на мысль не навело , разве что

DimaM писал(а):

$1-\cos\beta\ne\sin\beta$, даже приближенно

искать другое приближение, это и вправду неверно.

[DimaM]

Viktor92 в сообщении #943772 писал(а):

искать другое приближение, это и вправду неверно

Подсказка: $\cos\beta=1-2\sin^2(\beta/2)$.

-- 10.12.2014, 21:44 --

Viktor92 в сообщении #943772 писал(а):

Применяя подобное к задаче один из первого поста, получаю опять не то $t=\sqrt{2l/g}$, двойка "переехала" в числитель...

Так получилось бы, если бы муха продолжала сидеть на дне.
Попробуйте рассмотреть, на сколько переместится центр масс системы пробирка + муха.

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #943772 писал(а):

но на мысль не навело

У вас там размерность не сходится. Неправильно значит подставляли, раз не заметили этого.

[Viktor92]

DimaM в сообщении #943773 писал(а):

Подсказка: $\cos\beta=1-2\sin^2(\beta/2)$.

Положив, что $1-2\sin^2(\beta/2)\approx{1-\beta^2/2}$ и подставив во все свои вычисления выше, ответ всё равно не получился верным...

DimaM в сообщении #943773 писал(а):

Так получилось бы, если бы муха продолжала сидеть на дне.
Попробуйте рассмотреть, на сколько переместится центр масс системы пробирка + муха.

Спасибо, кажется получилось. Найдём координаты двух положений центра масс (в начале опыта и в конце).
$r_{c1}=\frac{ml/2+ml}{2m}=3l/4$ и $r_{c2}=\frac{3ml/2+ml}{2m}=5l/4$ Найдём путь пройденный центром масс, как разница $r_{c2}-r_{c1}=l/2$, теперь можно рассматривать движение всё системы, как единого целого, скорость её в нижней точке будет $v=gt$, запишем закон сохранения энергии и подставим туда эту скорость $2mg\frac{l}{2}=\frac{2mg^2t^2}{2}$ откуда найдём $t=\sqrt{l/g}$

warlock66613 в сообщении #943777 писал(а):

У вас там размерность не сходится. Неправильно значит подставляли, раз не заметили этого.

Да, там лишний кг вылезает, а угол должен быть безразмерным.

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #943893 писал(а):

Да, там лишний кг вылезает, а угол должен быть безразмерным.

Ну и проследите по выкладкам в обратную сторону, где эта ошибка возникла.

[DimaM]

Viktor92 в сообщении #943893 писал(а):

подставив во все свои вычисления выше, ответ всё равно не получился верным

В вычислениях выше много ошибок.
Если покажете нынешние расчеты, можно попробовать понять, что именно неправильно.

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #943902 писал(а):

Ну и проследите по выкладкам в обратную сторону, где эта ошибка возникла.

Она возникает при возведении в квадрат второго решения системы, что ничего не даёт. Изначально угол был неправильно выражен.

DimaM в сообщении #943925 писал(а):

В вычислениях выше много ошибок.
Если покажете нынешние расчеты, можно попробовать понять, что именно неправильно.

Из $cos\beta=1-2\sin^2(\beta/2)\approx{1-\beta^2/2}$ получаем
$h_1=l_1-l_1cos\beta\approx{l_1\beta^2/2}$
Теперь находим скорость первого маятника в нижней точке из
$m_1v_0^2/2=m_1gl_1\beta^2/2 $ получаем
$v_0^2=l_1\beta^2g$
Теперь используя решения системы (они верны точно), можно по закону сохранения записать
$\frac{l_1\beta_1^2}{2}m_1g=m_1l_1\beta^2 g\frac{(m_1-m_2)^2}{2(m_1+m_2)^2}$ и
$\frac{l_2\beta_2^2}{2}m_2g=2m_2l_1\beta^2 g\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}$
Отсюда уже видно что пытаясь выражать углы $\beta_1$ и $\beta_2$, ответ не получаеттся, "вылезают" лишние корни.

[DimaM]

Viktor92 в сообщении #943945 писал(а):

$\frac{l_1\beta_1^2}{2}m_1g=m_1l_1\beta^2 g\frac{(m_1-m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}$ и
$\frac{l_2\beta_2^2}{2}m_2g=2m_2l_1\beta^2 g\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}$

В первом уравнении двойки справа не хватает. Второе, вроде, нормальное.

[Viktor92]

Исправил, извиняюсь за ошибку. Только вот задача всё ещё не решена