Задача по теории групп

[grizzly]

Exgr1

Exgr1 в сообщении #941486 писал(а):

Извините, но я упорно не понимаю, почему? ...
Значит, выведенное должно быть верно и относительно некоммутативной группы, нет?
А это возможно только в том случае, если.

Это какая-то совсем нелепая логическая ошибка. Будем считать, что из-за утомления :) Но если зациклило, лучше в ЛС.

Всем спасибо! Особенно VAL за шикарный пример.
И мы уже вышли на финишную прямую, жаль что долго ходили по ложному следу.

[Exgr1]

Цитата:

$(G, -)\rightarrow (G,+):a\mapsto a-e_+$
$(G, +)\rightarrow (G,-):a\mapsto a+e_-$

Простите, а как это получили?

Цитата:

$a-(e_++e_-)$

А вот это изоморфизмом не является, разве нет?
$f(a+b) = a+b-(e_{+}+e_{-}) = a-(e_{+}+e_{-}) - (b - (e_{+} + e_{-})) = f(a) + f(b) \ne f(a) - f(b)$

[VAL]

Я по-прежнему буду обозначать вторую операцию через "$\oplus$", а минус оставлю для вычитания (прибавления противоположного) в группе с операцией "$+$".

Тогда (если не напутал ) получается такой изоморфизм $\varphi$ из $\left<G,+\right>$ в $\left<G,\oplus \right>$: $\varphi(a)=e_{\oplus}-a$.

[Exgr1]

VAL
$f(a+b) = e_{-} + (a+b)^{-1} = e_{-} + b^{-1} - e_{-} + a^{-1} = f(b) - f(a) \ne f(a) - f(b)$
Или я что-то не понял?

[VAL]

Exgr1 в сообщении #943199 писал(а):

VAL
$f(a+b) = e_{-} + (a+b)^{-1} = e_{-} + b^{-1} - e_{-} + a^{-1} = f(b) - f(a) \ne f(a) - f(b)$
Или я что-то не понял?

Незаметно для себя воспользовался коммутативностью Обозначение операции через "$+$" подталкивает к этому.

PS: Но для коммутативного случая проходит.

[grizzly]

Exgr1 в сообщении #943172 писал(а):

А вот это изоморфизмом не является, разве нет?
$f(a+b) = a+b-(e_{+}+e_{-}) = a-(e_{+}+e_{-}) - (b - (e_{+} + e_{-})) = f(a) + f(b) \ne f(a) - f(b)$

Начнём с того, что все предлагали Вам совершенно другой изоморфизм (проверьте, что это так). А Вы взяли просто тождественный изоморфизм и, понятно, что ничего не вышло.

Для разнообразия проверим из второй группы в первую:
$f(a)=a-e_+$.
Следовательно,
$f(a-b) = a-b-e_+ = a-e_+ -(e_- +e_-) -b - e_+ = a-e_+ -e_- +e_- -b-e_+ = f(a)+f(b) $
Здесь мы пользуемся тем, что $(e_+)^{-1}=e_- +e_-$. Не зря же Вы это доказывали выше. Обратное там берётся по операции второй группы.

Я вижу, что у Вас техника неплохая, поэтому не расписываю совсем уж подробно. Но надеюсь, что нигде не сбился. Хотя обозначения в задаче выбраны не очень удачно и провоцируют всякие сбои.

(Оффтоп)

Философию, как прийти к решению обсудим уже завтра (или в ЛС).

[Evgenjy]

Все структуры с двумя групповыми операциями, удовлетворяющие условию задачи, устроены следующим образом. Возьмем любую группу $G$. Операция будет обозначатся обычно, как в группах по умножению (т. е. точкой или ничем). Выберем любой элемент $g$ этой группы. Введем новую операцию $*$, такую что $a*b=agb$. Относительно этой операции $G$ также будет группой. Старая и новая операции будут удовлетворять требованиям взаимной ассоциативности (т .е. требованиям задачи). Нейтральным элементом для новой операции будет $g^{-1}$. Группы будут изоморфны.
Как установить изоморфизм, который требуется задаче я уже указывал.

[grizzly]

Получилось замечательное полное описание структуры этих групп. Для полноты картины я бы добавил только найденную Exgr1 связь $g$ с нейтральным элементом "точечной" операции: $g=e*e$. В зависимости от подхода эта связь будет априорной либо апостериорной.