2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Элементарная задача на мощность множества
Сообщение09.12.2014, 08:15 


06/05/12
77
Правильно ли я понимаю, что множество всех вещественных чисел, в десятичной записи которых есть только цифры 0 и 1, имеет мощность континуум? Элементы этого множества определяются с помощью счётного множества значков, каждый из которых независимо от других принимает два значения: 0 и 1. Выходит, что множество таких вещественных чисел равномощно множеству двоичных дробей, которое равномощно множеству всех последовательностей натуральных чисел, которое имеет мощность континуум. Не вижу ошибки в рассуждениях, но всё равно трудно в это поверить, если пытаться наглядно себе представить такое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная задача на мощность множества
Сообщение09.12.2014, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Можно рассмотреть множество изображений всех действительных чисел в некоторой системе счисления. Каждое изображение в двоичной системе существует и в десятичной (соответствуя разным числам (кроме нуля)). Но ведь мощность множества изображений в любой системе не меньше мощности самого множества. То есть можно утверждать, что множества десятичных и двоичных дробей не меньше континуума. А то, что они не больше континуума ещё надо доказать, что не трудно, так как больше одного, а именно два, изображения в конкретной системе есть только у счётного количества чисел.

Это аналогично представлению натуральных чисел в обычной, десятичной системе и в форме удвоенного числа. Изображение натурального числа в удвоенной форме соответствует чётному натуральному числу в обычной форме. То есть множество изображений натуральных чисел в удвоенной форме содержится в множестве изображений в обычной форме. В данном случае у каждого числа есть ровно одно изображение в обычной форме и ровно одно в удвоенной (кроме нуля, они, конечно, не совпадают). Соответственно, мощности двух множеств изображений равны каждое мощности множества натуральных чисел. Но можно сделать множество изображений мощности континуум. Например, с помощью обыкновенных дробей из действительных чисел.
Тогда получится, что два множества изображений неравномощны.

Можно и вообще порассматривать только одно число — единичку и различные его изображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная задача на мощность множества
Сообщение09.12.2014, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5462
Всё верно, mark_sandman.
А попробуйте представить наглядно множество всех натуральных чисел, кратных 9, в десятичной записи которых есть только цифра 1. Насколько трудно поверить, что оно равномощно $\mathbb Q$?

С бесконечными (не обязательно несчётными) множествами всегда так. Покрутите в голове побольше примеров и интуиция возьмёт этот барьер (точнее -- капитулирует).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group