Элементарная задача на мощность множества

[mark_sandman]

Правильно ли я понимаю, что множество всех вещественных чисел, в десятичной записи которых есть только цифры 0 и 1, имеет мощность континуум? Элементы этого множества определяются с помощью счётного множества значков, каждый из которых независимо от других принимает два значения: 0 и 1. Выходит, что множество таких вещественных чисел равномощно множеству двоичных дробей, которое равномощно множеству всех последовательностей натуральных чисел, которое имеет мощность континуум. Не вижу ошибки в рассуждениях, но всё равно трудно в это поверить, если пытаться наглядно себе представить такое множество.

[gris]

Можно рассмотреть множество изображений всех действительных чисел в некоторой системе счисления. Каждое изображение в двоичной системе существует и в десятичной (соответствуя разным числам (кроме нуля)). Но ведь мощность множества изображений в любой системе не меньше мощности самого множества. То есть можно утверждать, что множества десятичных и двоичных дробей не меньше континуума. А то, что они не больше континуума ещё надо доказать, что не трудно, так как больше одного, а именно два, изображения в конкретной системе есть только у счётного количества чисел.

Это аналогично представлению натуральных чисел в обычной, десятичной системе и в форме удвоенного числа. Изображение натурального числа в удвоенной форме соответствует чётному натуральному числу в обычной форме. То есть множество изображений натуральных чисел в удвоенной форме содержится в множестве изображений в обычной форме. В данном случае у каждого числа есть ровно одно изображение в обычной форме и ровно одно в удвоенной (кроме нуля, они, конечно, не совпадают). Соответственно, мощности двух множеств изображений равны каждое мощности множества натуральных чисел. Но можно сделать множество изображений мощности континуум. Например, с помощью обыкновенных дробей из действительных чисел.
Тогда получится, что два множества изображений неравномощны.

Можно и вообще порассматривать только одно число — единичку и различные его изображения.

[grizzly]

Всё верно, mark_sandman.
А попробуйте представить наглядно множество всех натуральных чисел, кратных 9, в десятичной записи которых есть только цифра 1. Насколько трудно поверить, что оно равномощно $\mathbb Q$?

С бесконечными (не обязательно несчётными) множествами всегда так. Покрутите в голове побольше примеров и интуиция возьмёт этот барьер (точнее -- капитулирует).