работы Рамануджана

[Alik]

Предлагается собрать работы Рамануджана, посвященные золотому сечению. Известно, что этот великий индийский математик был увлечен этим числом (как впрочем и числом Пи) и вывел несколько замечательных формул. Теория для этого разбросана и нигде не излагается полностью. Я могу выложить изданные не так давно "Записные книжки Рамануджана" с комментариями (на англ. языке).
Привожу две формулы для 6-ой и 12-ой степеней золотой пропорции:

[sexstant]

Золотое правило форума: посмотри библиотеку lib.mexmat.ru - может быть там уже есть.

[Someone]

Alik писал(а):

Привожу две формулы для 6-ой и 12-ой степеней золотой пропорции:
http://ternary.info

$$\varphi^6-\frac{e^{\pi\sqrt{5}}+24}{2^6}\approx 0.00386$$

$$\varphi^{12}-\frac{e^{\pi\sqrt{10}}-24}{2^6}\approx 0.00021$$

Ну и что? Это что-нибудь доказывает, кроме изобретательности Рамануджана? Или в этих приближённых равенствах есть какой-то мистический смысл?

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Ну и что? Это что-нибудь доказывает, кроме изобретательности Рамануджана? Или в этих приближённых равенствах есть какой-то мистический смысл?

Как ни странно, да. Только я не знаю теорию полей классов, и для меня это (пока?) остается мистикой.

http://www.geocities.com/titus_piezas/Ramanujan_a.htm

Только золотое сечение там появляется, естественно, эпизодически и никакой особой роли не играет. Так, просто одна из квадратичных иррациональностей.

[Alik]

Ребята, но тема ведь интересная!

Вы с математикой дружите лучше, чем я - инженер, присоветуйте к кому можно обратиться (книжки, преподаватели и т.д.)
Английское издание Рамануджановских notebooks хотите?

[sexstant]

Alik
Какой вы невнимательный! Да есть они у нас
http://lib.mexmat.ru/books/113
http://lib.mexmat.ru/books/114
http://lib.mexmat.ru/books/115
http://lib.mexmat.ru/books/193
http://lib.mexmat.ru/books/194

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Ребята, но тема ведь интересная!

Изначальная тема топика - золотое сечение - не особо интересная. А то, что лежит в основе большой пачки формул по моей ссылке в предыдущем сообщении - модулярные формы, j-функция, теория полей классов - естественно, чрезвычайно интересная, но и чрезвычайно сложная для инженера типа вас или меня (я заканчивал МИФИ, а не мехмат).

Alik писал(а):

Вы с математикой дружите лучше, чем я - инженер, присоветуйте к кому можно обратиться (книжки, преподаватели и т.д.)

Вот краткий справочник по j-функции:
http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html
А чтобы понять, где и почему она имеет рациональные и алгебраические значения (именно они и дают красивые приближенные равенства), можно почитать книги по теории чисел, например:
http://lib.mexmat.ru/books/4536 (последняя глава)
http://lib.mexmat.ru/books/4358 (глава XIII)
http://lib.mexmat.ru/books/5112
Если ваше инженерное образование похоже на мое, то вы наверняка в них ничего или практически ничего не поймете. После этого отложите их в сторону и начните с азов, чтобы потихоньку превратить инженерное образование в математическое. Алгебра там всякая (я недавно закачал сюда отличный учебник Dummit&Foote), комплексный анализ (не на уровне инженерного односеместрового курса ТФКП) и так далее. Потом можете возвращаться к отложенному (естественно, с самого начала, а не с этих глав) и, доходя до непонятных терминов, опять брать какую-нибудь другую книгу с пререквизитами. Только учтите, что на это может потребоваться не один год.

[Котофеич]

Alik писал(а):

Ребята, но тема ведь интересная!

Вы с математикой дружите лучше, чем я - инженер, присоветуйте к кому можно обратиться (книжки, преподаватели и т.д.)
Английское издание Рамануджановских notebooks хотите?

Если Вы Рамануджан, то ничего читать не нужно,
а если нет, то тем более не нужно, чтобы потом не было
мучительно больно за бесцельно прожитые годы.

[tolstopuz]

Котофеич писал(а):

Если Вы Рамануджан, то ничего читать не нужно,
а если нет, то тем более не нужно, чтобы потом не было
мучительно больно за бесцельно прожитые годы.

Да, этот вариант намного практичнее предложенного мной

[Alik]

Огромное спасибо за совет!

[Sorry, deleted. dm]
Кстати почему тема золотого сечения не интересная?
Вот Стахов допустим придумал на ее основе систему счисления. Я пытался обсуждать ее на форуме http://ternary.info (гляньте)
Меня не поняли и били палками - люди уже 2 с лишним года разговаривают и не одной нормальной идеи. Плюс ко всему гнут линию партии.

[tolstopuz]

[Sorry, deleted. dm]

Alik писал(а):

Кстати почему тема золотого сечения не интересная?

В контексте обсуждаемых формул Рамануджана - совершенно неинтересная. Ну появилось у него несколько раз $\sqrt 5$, ну и что? Там и других алгебраических чисел хватает. Выбирать из них $\sqrt 5$ - все равно что составлять коллекцию приборов с зеленой неонкой внутре, а приборы с неонками другого цвета или светодиодами выкидывать за неинтересностью. Да еще при этом абсолютно не интересоваться назначением и принципом работы прибора, только наличием зеленой неонки внутре.

Alik писал(а):

Вот Стахов допустим придумал на ее основе систему счисления. Я пытался обсуждать ее на форуме http://ternary.info (гляньте)

Особенно меня порадовало обсуждение алгоритма определения четности в троичной системе, которое свелось к выяснению того, является ли 0 четным

[Alik]

Я поэтому и удалил все свои схемы - люди не хотят читать вдумчиво.
А тут меня понимают и поэтому можно еще один вопрос:
Как вы думаете стаховская система счисления - удачная/неудачная и с каких точек зрения? Моих знаний просто хватит только на нее.

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Как вы думаете стаховская система счисления - удачная/неудачная и с каких точек зрения? Моих знаний просто хватит только на нее.

Что-то я не понимаю, почему вы называете систему счисления по основанию золотого сечения именем Стахова. Она описана даже у Кнута в упражнении 1.2.8-35, да и Стахов сам называет ее системой Бергмана. Радикальных преимуществ я в ней не вижу, она хороша как математический курьез или задача для математического кружка. Тот же Кнут в параграфе 4.1 рассказывает про системы счисления с комплексным основанием - это тоже забавно, но не более.

[Alik]

Стаховская, имеется ввиду по основанию квадрат золотого сечения. На такой модификации бергмановской системы можно построить троичные устройства. Об этом много говорилось в 70-х, и Стахов вернулся к этому сейчас. Мне хочется понять насколько удобно, ее использование. Допустим система в остаточных классах не применяется для "бытовых вещей". Там просто нет необходимости в сложных вычислениях, их параллельности и т.д. Однако СОК нужна специалистам, военным и т.д.
С точки зрения использования в относительно простых устройствах стаховская система мне кажется не курьезной. Тот же корень из двух пополам, некоторые абсолютно точные значения тригонометрических ф-ий...
Возможно я ошибаюсь - расскажите пожалуйста где?

[tolstopuz]

Alik писал(а):

С точки зрения использования в относительно простых устройствах стаховская система мне кажется не курьезной. Тот же корень из двух пополам, значения тригонометрических ф-ий...

Откуда в $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ корень из двух пополам?