Координаты в полярной системе

[Seergey]

provincialka в сообщении #942085 писал(а):

:o Seergey, это не важно (ну, просто повернутая система $Oxy$). Вы лучше посмотрите на то, что написал чуть выше Xaositect. Подозреваю, что именно это вам и нужно.

Нет, мне нужно узнать, как получается разложение в поворачивающемся базисе.

Если вектор r(t) описывает какую-то кривую, то в поворачивающемся базисе радиус-вектор точки в каждый момент времени будет направлен вдоль радиус-вектора и почему у него всегда только радиальная компонента в поворачивающемся базисе? А например, если продифференцировать, то у скорости будет только фитая компонента. Как так получается?

[ИСН]

Seergey, Вы хотите нет. В полярной системе нет базиса, нет сложения векторов, нет самих векторов, нет матрицы перехода в неё. Она не для этого, не об этом, она так не работает. Вообще всё не так.

[Seergey]

ИСН в сообщении #942097 писал(а):

Seergey, Вы хотите нет. В полярной системе нет базиса, нет сложения векторов, нет самих векторов, нет матрицы перехода в неё. Она не для этого, не об этом, она так не работает. Вообще всё не так.

Как же это так нет? В декартовой есть, а в полярной нет? А как же ищутся координаты точки в полярной СК?

[provincialka]

Ну, а чему же вы удивляетесь? Если вы будете базис не только вращать, а еще и начало его прикреплять к концу вектора, то у вас обе координаты будут постоянными.

[Seergey]

То есть вращающийся базис не считается базисом полярной СК

[provincialka]

Да хоть бы и не вращающийся. Векторы - они такие прямолинейные, знаете ли. Никак в окружность не сворачиваются.

[Pphantom]

Seergey в сообщении #942119 писал(а):

:facepalm:

По-видимому, пришла пора честно признаться, что именно Вы хотите найти. Сформулируйте исходную задачу.

[provincialka]

Seergey по хорошему вообще не бывает "базиса системы координат". Бывает базис векторного пространства. И элементы этого базиса можно использовать, чтобы построить некую (вообще говоря, аффинную) систему координат. Но ее оси будут прямыми.

[arseniiv]

Seergey в сообщении #942119 писал(а):

базисом полярной СК

У системы координат нет никакого базиса! (Извиняюсь за повтор.)

Того, что вам нужен. Другие базисы — базис касательного пространства в данной точке — система координат исправно создаёт. Но в общем случае касательные пространства все разные и не совпадают с тем, на чём у вас система координат. Оно может не быть аффинным пространством, и потому не иметь ассоциированного пространства векторов параллельного переноса. Базис в этом пространстве (уже одном-единственном) может дать аффинная система координат (с помощью базиса и точки её как раз и удобно задавать), но полярная система — не аффинная (вот декартова — да).

[Shtorm]

Seergey, а Вы не пробовали сопоставить вектору в полярной системе координат (П.С.К.) комплексное число, записанное в показательной форме? Ведь изначально геометрическое представление комплексного числа опирается на П.С.К. Как раз в показательной форме комплексного числа заложена и длина вектора, и угол поворота.

[Seergey]

arseniiv в сообщении #942145 писал(а):

Seergey в сообщении #942119 писал(а):

базисом полярной СК

У системы координат нет никакого базиса! (Извиняюсь за повтор.)
но полярная система — не аффинная (вот декартова — да).

Вот здесь именно затруднение у меня. Иногда говорят: орты полярной системы координат, это как? Имеется в виду что в каждой точке есть касательный вектор к окружностям и к лучам (в полярной СК) и вот это как называется, касательный базис? И как делается разложение вектора, если в каждой точке сделан свой базис. У постоянного вектора будут меняться координаты там

-- 08.12.2014, 01:38 --

Т. е. в каждой точке у вектора будут другие координаты в касательном базисе. В точках, лежащих на том же луче, что и вектор у этого вектора будут одни и теже координаты, а в точках лежащих на окружности будет меняться только фитая компонента так что ли?

[provincialka]

Ту главный вопрос - какого вектора? Не того, которые прикреплен к началу координат. А того, который "натыкан" в точках плоскости.

Может, вам будет легче это представить, если вместо плоскости рассмотреть сферу. И в каждой точке этой сферы, в касательном пространстве, задан вектор. Вот такое поле векторов можно раскладывать (в каждой точке отдельно) по текущему базису.

А теперь распрямите сферу - и вот вам ваша задача.

В частности, если $\vec r$ - функция некоей переменной, то таким полем касательных будет $d\vec r$.

[Seergey]

Shtorm в сообщении #942152 писал(а):

Seergey, а Вы не пробовали сопоставить вектору в полярной системе координат (П.С.К.) комплексное число, записанное в показательной форме? Ведь изначально геометрическое представление комплексного числа опирается на П.С.К. Как раз в показательной форме комплексного числа заложена и длина вектора, и угол поворота.

это то понятно. Непонятно, что за орты есть в полярной системе. Например движение равномерное по окружности: центр полярной системы в центре вращения. радиус-вектор точки нужно разложить по касательному (?). Там будет только радиальная компонента. А откуда взять информацию об угле в какой-то момент времени, если даны разложения в касательном (?)

[provincialka]

А вы уверены, что именно радиус-вектор? Он не там приложен! Не там! Вспомните мой пример со сферой.

[Seergey]

Ну вот я накидал это векторное поле из постоянного вектора и касательные базисы. Я правильно представляю хоть?