Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)

[Hsad]

По оси $O_y$ в положительном направлении движется с постоянной скоростью $\upsilon$ точка $A$ (цель). На плоскости $O_x_y$ движется точка $M$ (преследователь) с постоянной скоростью $\nu (\nu>\upsilon)$ так, что вектор скорости всегда направлен в точку $A$. Найти траекторию точки $M$ (кривую погони), если в начальный момент времени $t=0$ точка $A$ находилась в начале координат, а точка $M$ - на оси $O_x$ на расстоянии $a>0$ от цели.

Мои попытки решения:

Допустим, что $x$ и $y$ - координаты преследователя в момент времени $t$. В этот же момент времени цель находится в точке $C$ и она прошла путь $AC=\upsilon t$.
$l$ - длина дуги MK. Можно вычислить угол наклона касательной в точке $C$:
$\frac {dy} {dx}=\tg \alpha=-\frac {\upsilon t - y} {x}= \frac {y-\upsilon t} {x}$.
Длина дуги $dl=\sqrt{1+y'^2}$
Дальше каким-то образом надо связать скорости ($\nu (\nu>\upsilon)$), подставить в $\frac {y-\upsilon t} {x}$, затем его продифференцировать и решить получившийся дифур. Подскажите, как поступить со скоростями.

[Ms-dos4]

Записываете координаты цели (как зависят от времени)
$\[\left\{ \begin{array}{l} \xi (t) = 0\\ \eta (t) = {\eta _0} + vt \end{array} \right.\]$
Если вектор скорости постоянно смотрит на цель, значит касательная к траектории в каждый момент смотрит на цель, значит. Тогда из треугольника видно, что
$\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\eta - y}}{{\xi - x}}\] $
Т.к. $\[\vec \nu = \nu \cdot ({{\vec e}_x}\cos \varphi + {{\vec e}_y}\sin \varphi )\]$
$\[d{x^2} + d{y^2} = \nu {}^2d{t^2}\]$
Подставляем в предыдущее уравнение и имеем
$\[dy = \frac{{\eta - y}}{{\xi - x}}\sqrt {\nu {}^2d{t^2} - d{y^2}} \]$
т.е. $\[\frac{{dy}}{{dx}} = \nu \frac{{\eta - y}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }}\]$
и по другой координате
$\[\frac{{dx}}{{dx}} = \nu \frac{{\xi - x}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }}\]$
Всё, зависимость $\[\xi (t)\]$ и $\[\eta (t)\]$ у вас есть, систему двух ДУ у вас есть, ну и начальные условия конечно, $\[x(0)\]$ и $\[y(0)\]$. Всё, решайте

[Hsad]

Ms-dos4 в сообщении #941330 писал(а):

Записываете координаты цели (как зависят от времени)
$\[\left\{ \begin{array}{l} \xi (t) = 0\\ \eta (t) = {\eta _0} + vt \end{array} \right.\]$
Если вектор скорости постоянно смотрит на цель, значит касательная к траектории в каждый момент смотрит на цель, значит. Тогда из треугольника видно, что
$\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\eta - y}}{{\xi - x}}\] $
Т.к. $\[\vec \nu = \nu \cdot ({{\vec e}_x}\cos \varphi + {{\vec e}_y}\sin \varphi )\]$
$\[d{x^2} + d{y^2} = \nu {}^2d{t^2}\]$
Подставляем в предыдущее уравнение и имеем
$\[dy = \frac{{\eta - y}}{{\xi - x}}\sqrt {\nu {}^2d{t^2} - d{y^2}} \]$
т.е. $\[\frac{{dy}}{{dx}} = \nu \frac{{\eta - y}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }}\]$
и по другой координате
$\[\frac{{dx}}{{dx}} = \nu \frac{{\xi - x}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }}\]$
Всё, зависимость $\[\xi (t)\]$ и $\[\eta (t)\]$ у вас есть, систему двух ДУ у вас есть, ну и начальные условия конечно, $\[x(0)\]$ и $\[y(0)\]$. Всё, решайте

Эх, понять бы все, что вы написали. Извините, если задаю глупые вопросы, но лучше спрошу.
$\[\left\{ \begin{array}{l} \xi (t) = 0\\ \eta (t) = {\eta _0} + vt \end{array} \right.\]$
Первый раз вижу обозначения $\xi (t)$ и $\eta (t)$. По сути это как координаты по $x$ и $y$?
И дальше, в конце, составить систему из двух ДУ

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{{dx}}{{dx}}=\nu \frac{{\xi - x}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }} \\ \frac{{dy}}{{dx}}=\nu \frac{{\eta - y}}{{\sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - y)}^2}} }} \\ \end{array} \right.$$

И тут я окончательно "сломался". Это вообще решаемо? Могу я сразу вместо $x$ и $y$ подставить нули?

[Ms-dos4]

1)Я просто обозначил греческими буквами координаты цели
2)Нельзя конечно! Это вообще то функции, которые надо найти.
Решать то решаемо. Сейчас сам попробую

-- Сб дек 06, 2014 20:42:41 --

Кстати, я опечатался. В системе уравнений конечно же $\[\frac{{dy}}{{dt}} = ...\]$ и $\[\frac{{dx}}{{dt}} = ...\]$ соответственно.

[Hsad]

Ms-dos4 в сообщении #941382 писал(а):

1)Я просто обозначил греческими буквами координаты цели
2)Нельзя конечно! Это вообще то функции, которые надо найти.
Решать то решаемо. Сейчас сам попробую

-- Сб дек 06, 2014 20:42:41 --

Кстати, я опечатался. В системе уравнений конечно же $\[\frac{{dy}}{{dt}} = ...\]$ и $\[\frac{{dx}}{{dt}} = ...\]$ соответственно.

Спасибо. Но мне и компьютерные системы не помогли в решении данной системы ДУ. Должны ли решать это студенты 2 курса? :)

[Ms-dos4]

Ага, я додумался. Делаем замену $\[y = Y + {\eta _0} + vt\]$
Тогда$ \[dy = dY + vdt\]$ и система имеет вид
$\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{dY}}{{dt}} + v = \nu \frac{{ - Y}}{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }}\\ \frac{{dx}}{{dt}} = \nu \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }} \end{array} \right.\]$
Траекторию можно найти из уравнения для $\[\frac{{dY}}{{dx}}\]$, а оно однородное!
$\[\frac{{dY}}{{dx}} = \frac{Y}{x} + \frac{v}{\nu }\frac{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }}{x}\]$

[Lia]

Ms-dos4
Предупреждение (поскольку замечаний уже было достаточно) за полное решение содержательной части учебной задачи.

Пожалуйста, не забывайте правила раздела, в частности:

Forum Administration в сообщении #31728 писал(а):

Разумными способами оказания помощи являются, в частности, следующие:
1. Объяснить первый шаг решения задачи, предложив восстановить дальнейший ход рассуждений самостоятельно.
2. Дать ссылки на теоретические факты, которые должны быть использованы в решении задачи.
3. Описать общий ход решения, опустив технические детали, которые автор вопроса может восстановить самостоятельно.