2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 19:19 


26/12/13
48
По оси $O_y$ в положительном направлении движется с постоянной скоростью $\upsilon$ точка $A$ (цель). На плоскости $O_x_y$ движется точка $M$ (преследователь) с постоянной скоростью $\nu (\nu>\upsilon)$ так, что вектор скорости всегда направлен в точку $A$. Найти траекторию точки $M$ (кривую погони), если в начальный момент времени $t=0$ точка $A$ находилась в начале координат, а точка $M$ - на оси $O_x$ на расстоянии $a>0$ от цели.

Мои попытки решения:
Изображение
Допустим, что $x$ и $y$ - координаты преследователя в момент времени $t$. В этот же момент времени цель находится в точке $C$ и она прошла путь $AC=\upsilon t$.
$l$ - длина дуги MK. Можно вычислить угол наклона касательной в точке $C$:
$\frac {dy} {dx}=\tg \alpha=-\frac {\upsilon t - y} {x}= \frac {y-\upsilon t} {x}$.
Длина дуги $dl=\sqrt{1+y'^2}$
Дальше каким-то образом надо связать скорости ($\nu (\nu>\upsilon)$), подставить в $\frac {y-\upsilon t} {x}$, затем его продифференцировать и решить получившийся дифур. Подскажите, как поступить со скоростями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 19:48 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Записываете координаты цели (как зависят от времени)
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\xi (t) = 0\\
\eta (t) = {\eta _0} + vt
\end{array} \right.\]$
Если вектор скорости постоянно смотрит на цель, значит касательная к траектории в каждый момент смотрит на цель, значит. Тогда из треугольника видно, что
$\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\eta  - y}}{{\xi  - x}}\]
$
Т.к. $\[\vec \nu  = \nu  \cdot ({{\vec e}_x}\cos \varphi  + {{\vec e}_y}\sin \varphi )\]$
$\[d{x^2} + d{y^2} = \nu {}^2d{t^2}\]$
Подставляем в предыдущее уравнение и имеем
$\[dy = \frac{{\eta  - y}}{{\xi  - x}}\sqrt {\nu {}^2d{t^2} - d{y^2}} \]$
т.е. $\[\frac{{dy}}{{dx}} = \nu \frac{{\eta  - y}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }}\]$
и по другой координате
$\[\frac{{dx}}{{dx}} = \nu \frac{{\xi  - x}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }}\]$
Всё, зависимость $\[\xi (t)\]$ и $\[\eta (t)\]$ у вас есть, систему двух ДУ у вас есть, ну и начальные условия конечно, $\[x(0)\]$ и $\[y(0)\]$. Всё, решайте

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 20:37 


26/12/13
48
Ms-dos4 в сообщении #941330 писал(а):
Записываете координаты цели (как зависят от времени)
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\xi (t) = 0\\
\eta (t) = {\eta _0} + vt
\end{array} \right.\]$
Если вектор скорости постоянно смотрит на цель, значит касательная к траектории в каждый момент смотрит на цель, значит. Тогда из треугольника видно, что
$\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\eta  - y}}{{\xi  - x}}\]
$
Т.к. $\[\vec \nu  = \nu  \cdot ({{\vec e}_x}\cos \varphi  + {{\vec e}_y}\sin \varphi )\]$
$\[d{x^2} + d{y^2} = \nu {}^2d{t^2}\]$
Подставляем в предыдущее уравнение и имеем
$\[dy = \frac{{\eta  - y}}{{\xi  - x}}\sqrt {\nu {}^2d{t^2} - d{y^2}} \]$
т.е. $\[\frac{{dy}}{{dx}} = \nu \frac{{\eta  - y}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }}\]$
и по другой координате
$\[\frac{{dx}}{{dx}} = \nu \frac{{\xi  - x}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }}\]$
Всё, зависимость $\[\xi (t)\]$ и $\[\eta (t)\]$ у вас есть, систему двух ДУ у вас есть, ну и начальные условия конечно, $\[x(0)\]$ и $\[y(0)\]$. Всё, решайте

Эх, понять бы все, что вы написали. Извините, если задаю глупые вопросы, но лучше спрошу.
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\xi (t) = 0\\
\eta (t) = {\eta _0} + vt
\end{array} \right.\]$
Первый раз вижу обозначения $\xi (t)$ и $\eta (t)$. По сути это как координаты по $x$ и $y$?
И дальше, в конце, составить систему из двух ДУ
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \frac{{dx}}{{dx}}=\nu \frac{{\xi  - x}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }} \\
 \frac{{dy}}{{dx}}=\nu \frac{{\eta  - y}}{{\sqrt {{{(\xi  - x)}^2} + {{(\eta  - y)}^2}} }} \\
\end{array}
\right.$$
И тут я окончательно "сломался". Это вообще решаемо? Могу я сразу вместо $x$ и $y$ подставить нули?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 20:38 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
1)Я просто обозначил греческими буквами координаты цели
2)Нельзя конечно! Это вообще то функции, которые надо найти.
Решать то решаемо. Сейчас сам попробую

-- Сб дек 06, 2014 20:42:41 --

Кстати, я опечатался. В системе уравнений конечно же $\[\frac{{dy}}{{dt}} = ...\]$ и $\[\frac{{dx}}{{dt}} = ...\]$ соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 21:00 


26/12/13
48
Ms-dos4 в сообщении #941382 писал(а):
1)Я просто обозначил греческими буквами координаты цели
2)Нельзя конечно! Это вообще то функции, которые надо найти.
Решать то решаемо. Сейчас сам попробую

-- Сб дек 06, 2014 20:42:41 --

Кстати, я опечатался. В системе уравнений конечно же $\[\frac{{dy}}{{dt}} = ...\]$ и $\[\frac{{dx}}{{dt}} = ...\]$ соответственно.

Спасибо. Но мне и компьютерные системы не помогли в решении данной системы ДУ. Должны ли решать это студенты 2 курса? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 21:08 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Ага, я додумался. Делаем замену $\[y = Y + {\eta _0} + vt\]$
Тогда$ \[dy = dY + vdt\]$ и система имеет вид
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{dY}}{{dt}} + v = \nu \frac{{ - Y}}{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }}\\
\frac{{dx}}{{dt}} = \nu \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }}
\end{array} \right.\]$
Траекторию можно найти из уравнения для $\[\frac{{dY}}{{dx}}\]$, а оно однородное!
$\[\frac{{dY}}{{dx}} = \frac{Y}{x} + \frac{v}{\nu }\frac{{\sqrt {{x^2} + {Y^2}} }}{x}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение задачи с помощью диффура (кривая погони)
Сообщение06.12.2014, 22:15 


20/03/14
12041
 !  Ms-dos4
Предупреждение (поскольку замечаний уже было достаточно) за полное решение содержательной части учебной задачи.

Пожалуйста, не забывайте правила раздела, в частности:
Forum Administration в сообщении #31728 писал(а):
Разумными способами оказания помощи являются, в частности, следующие:
1. Объяснить первый шаг решения задачи, предложив восстановить дальнейший ход рассуждений самостоятельно.
2. Дать ссылки на теоретические факты, которые должны быть использованы в решении задачи.
3. Описать общий ход решения, опустив технические детали, которые автор вопроса может восстановить самостоятельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group