Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.

[Nemiroff]

SlayZar в сообщении #940525 писал(а):

А, точно, это получается сложение по модулю $6$.

Вообще, групп порядка $6$ две штуки. И "судоков" у вас выйдет много.

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #940553 писал(а):

Вообще, групп порядка $6$ две штуки. И "судоков" у вас выйдет много.

Откуда много? Только две и вышло. А почему должно быть больше? Там же какие-никакие начальные условия были.

[provincialka]

Кстати, а некоммутативные группы 6-го порядка бывают? Вроде, да. А то ведь ТС в первом же посте использовал коммутативность.

[Nemiroff]

Я не проверял.
Однако, мне кажется, там начальные условия плюшевые. А потому, даже неабелевых штук шесть выйдет. Разве нет?

-- Пт дек 05, 2014 02:50:22 --

provincialka в сообщении #940558 писал(а):

Кстати, а некоммутативные группы 6-го порядка бывают?

Есть одна абелева, она же $\mathbb{Z}_6$, и одна неабелева, она же $S_3$.

[grizzly]

provincialka в сообщении #940558 писал(а):

Кстати, а некоммутативные группы 6-го порядка бывают? Вроде, да. А то ведь ТС в первом же посте использовал коммутативность.

Я у себя коммутативность не использовал и вроде проверил, что второе решение судоку легко отбраковывается проверкой групповых условий. Так что метод вполне пригодный.

Мог ошибиться в полусонном состоянии, но маловероятно.

-- 05.12.2014, 03:59 --

Наверное, ошибся насчёт второго решения. Похоже, оно выживает:
a b c d e f
b f d e c a
c d b f a e
d e f a b c
e c a b f d
f a e c d b

(Оффтоп)

Всем спокойной ночи! :)

[SlayZar]

grizzly в сообщении #940560 писал(а):

provincialka в сообщении #940558 писал(а):

Кстати, а некоммутативные группы 6-го порядка бывают? Вроде, да. А то ведь ТС в первом же посте использовал коммутативность.

Я у себя коммутативность не использовал и вроде проверил, что второе решение судоку легко отбраковывается проверкой групповых условий. Так что метод вполне пригодный.

Мог ошибиться в полусонном состоянии, но маловероятно.

-- 05.12.2014, 03:59 --

Наверное, ошибся насчёт второго решения. Похоже, оно выживает:
a b c d e f
b f d e c a
c d b f a e
d e f a b c
e c a b f d
f a e c d b

(Оффтоп)

Всем спокойной ночи! :)

Да, действительно два решение получается. Второе похоже тоже годится. Тогда мы впринципе можем любое из них взять, да? Но только во втором решение не понятно чему оно будет изоморфно, так что наверное лучше первое оставить.

[provincialka]

SlayZar в сообщении #940602 писал(а):

Но только во втором решение не понятно чему оно будет изоморфно,

Nemiroff в сообщении #940559 писал(а):

Есть одна абелева, она же $\mathbb{Z}_6$, и одна неабелева, она же $S_3$.

[grizzly]

SlayZar в сообщении #940602 писал(а):

Да, действительно два решение получается.

Здесь шаманские методы имеют свои ограничения -- решить судоку не значит найти группу, это только может помочь её построить. Выше Nemiroff совершенно правильно заметил (а я, следовательно, был неправ), что появится ещё парочка некоммутативных судоку -- и это действительно видно из начальной таблицы.

Если в условие задачи не входило искать все возможные таблицы, то лучше брать циклическую -- это понятно и надёжно.

(Оффтоп)

Всё равно игра в судоку с отслеживанием правил группы мне понравилась :) И это может быть полезно на этапе ознакомления с темой.

[arseniiv]

Кстати, а есть ли группы, у которых таблица умножения реально составляла бы судоку? Требуется ведь ещё иметь все разные элементы в каждом из прямоугольников какого-то наперёд выбранного размера $k\times \ell$ (с площадью, равной числу элементов, конечно). Если прямоугольники не вырождаются в строки/столбцы, конечно — тогда всё хорошо.

Например,

grizzly в сообщении #940560 писал(а):

a b c d e f
b f d e c a
c d b f a e
d e f a b c
e c a b f d
f a e c d b

не выдерживает разбиения ни на прямоугольники $2\times3$, ни на $3\times2$. Циклическая таблица — сразу ясно, тоже не выдержит таких интересных разбиений при любом размере (или не додумал).

[kp9r4d]

Nemiroff в сообщении #940559 писал(а):

Есть одна абелева, она же $\mathbb{Z}_6$, и одна неабелева, она же $S_3$.

Казалось бы $S_3 = \mathbb{Z}_3 + \mathbb{Z}_2$, с чего бы она неабелева? Есть же классификация простых конечных, если ей верить, то кроме двух вышеназванных других нет.

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #940610 писал(а):

Казалось бы $S_3 = \mathbb{Z}_3 + \mathbb{Z}_2$, с чего бы она неабелева?

Так ведь именно казалось.

(Про судоку.) Хотя что если снять требование элементам идти в одинаковом порядке по обоим краям таблицы?

-- Пт дек 05, 2014 14:47:09 --

А $\mathbb Z_6\sim\mathbb Z_2+\mathbb Z_3$, в чём виновна теорема Чайнза—Ремейндера.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #940612 писал(а):

(Про судоку.)

Мы под "судоку" здесь понимали только требование, чтобы каждый элемент присутствовал в каждой строке и столбце при некоторых начальных условиях. Понятно, что выполнение этого требования не обеспечивает ассоциативности, которую нужно проверять, и я пока не соображу, как это делать оптимально. Боюсь, это здесь уже оффтоп, но тема вполне может быть интересна для исследовательской задачи школьнику или студенту.

[arseniiv]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #940614 писал(а):

Мы под "судоку" здесь понимали только требование, чтобы каждый элемент присутствовал в каждой строке и столбце при некоторых начальных условиях.

Да я понял. Видимо, групповые свойства мешают латинскому квадрату быть судоку. В уме только ничего полезного не придумалось.

[ИСН]

arseniiv в сообщении #940618 писал(а):

Видимо, групповые свойства мешают латинскому квадрату быть судоку.

Смотря в каком порядке записывать.

$$\begin{tabular}{r|ccc|ccc|ccc|} + &0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 0 &0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ 3 &3&4&5&6&7&8&0&1&2\\ 6 &6&7&8&0&1&2&3&4&5\\ \hline 1 &1&2&3&4&5&6&7&8&0\\ 4 &4&5&6&7&8&0&1&2&3\\ 7 &7&8&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline 2 &2&3&4&5&6&7&8&0&1\\ 5 &5&6&7&8&0&1&2&3&4\\ 8 &8&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline \end{tabular}$$

-- менее минуты назад --

Но разный порядок строк и столбцов - это читерство, конечно.

[Nemiroff]

kp9r4d в сообщении #940610 писал(а):

с чего бы она неабелева?

Это группа симметрий треугольника. Поворот и отражение некоммутируют, к примеру.
Это даже самая маленькая не нильпотентная группа.