Линейная оболочка векторного пространства

[Nurzery[Rhymes]]

По-моему тут все просто. Есть некоторое поле (допустим, конечное числовое), и векторное пространство над ним, в котором векторы как в мешке. Начинаем строить линейные комбинации всех векторов пространства со всевозможными коэффициентами из поля, когда-нибудь мы исчерпаем все возможные варианты составить линейную комбинацию, и они начнут повторяться. Вот линейная оболочка - это множество всех уникальных линейных комбинаций векторов пространства. Значение этих линейных комбинаций - векторы. Я прав?

[arseniiv]

А зачем «уникальных»? Сколько раз в множество элемент ни добавь — он там всё равно будет один (и сколько раз ни убери — его там одинаково не будет).

[Viktor92]

provincialka в сообщении #940298 писал(а):

Слишком уж узко вы мыслите. Почему базисные вектора непременно должны идти вдоль "осей координат"? Вы возьмите их и поверните! Например, будет ли базисом в $\mathbb{R}^2$ пара векторов $e_1=(1;2),e_2=(2;-1)$?

Да будет, главное чтобы они были линейно независимые. Насколько я знаю это проверить можно, составим матрицу из этих векторов и найти её ранг, приведя её к ступенчатому виду (умножив первую строку на $-2$, и прибавив ко второй):
$$ \qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{bmatrix}= \qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -5 \\ \end{bmatrix} ​$$​

arseniiv в сообщении #940312 писал(а):

Viktor92 в сообщении #940297 писал(а):

$\lbrace(x, x^2,x^3,\forall {C\in{R}}),\rbrace$,

Вот честно, как прикажете понимать такую запись?

Три базисных вектора "иксы" в соответствующей степени, а четвёртый любой число из $\mathbb{R}$

[Slow]

Viktor92 в сообщении #940429 писал(а):

Три базисных вектора "иксы" в соответствующей степени, а четвёртый любой число из $\mathbb{R}$

Прямо любое?

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #940429 писал(а):

Три базисных вектора "иксы" в соответствующей степени, а четвёртый любой число из $\mathbb{R}$

А зачем тогда ещё пара скобок? И почему иксы нельзя помножить на «любое (не забывая то, на что намекает Slow) число из $\mathbb R$»? (И почему бы тогда не описать вообще все возможные базисы, раз уже указали их бесконечное число? Это самое странное.)

-- Пт дек 05, 2014 02:49:31 --

А, и $\forall C\in\mathbb R$ — это не терм. Выглядит страшно.

[Viktor92]

Если уточнить то множество всех базисов для многочленов не выше 3 степени:
$\lbrace\lambda_1x^3,\lambda_2x^2, \lambda_3x, \lambda_4 \rbrace$, где $\lambda_{1,2,3,4}\neq{0}$

[kp9r4d]

Viktor92
А как же, например, $x^3+1,x^2+1,x+1,1$?

[Viktor92]

Да точно, об этом я не подумал . Тогда так $\lbrace\lambda_1x^3+\beta_1,\lambda_2x^2+\beta_2, \lambda_3x+\beta_3, \lambda_4 \rbrace$, где $\lambda_{1,2,3,4}\neq{0}$, а $\beta_{1,2,3}$ любое. kp9r4d а остальное я более менее правильно решил?

[kp9r4d]

Viktor92
Да вы всё правильно решили, просто вы, выбирая базисы, пытаетесь выбрать ортогональный базис, относительно кажущегося вам естественным скалярного умножения, а я почему-то пример не могу придумать, когда подобного естественного скалярного умножения нет, ну или его видно хуже.
А как же
$x^3,x^2+x,x,1$?

[arseniiv]

И будем мы подгонять формулу любого базиса до тех пор, пока не узнаем об определителях.

[Viktor92]

Просто ортонормированный базис сразу легко представить, а для других надо проверять на линейную независимость, сразу из головы так не выпишешь.

kp9r4d в сообщении #940497 писал(а):

А как же
$x^3,x^2+x,x,1$?

Да, я понял закономерность, можно также $x^3+x^2, x^2+x,x,1$ или даже $x^3+x^2+x+1, x^2,x,1 $, как это всё одним выражением записать не знаю.

[provincialka]

А также $x^3\sqrt2+1000x-48; 2x^3+3x^2-5, $ ну и еще каких-нибудь таких парочку.

[kp9r4d]

Viktor92
Не заморачивайтесь пока, главное вы поняли, что такое базис и линейная оболочка, читайте Винберга дальше и узнаете потом как записать это условие.