Линейная оболочка векторного пространства

[Viktor92]

Здравствуйте. Помогите понять, что такое линейная оболочка. Приведу пример, как я это понимаю:
Например есть векторное пространство чисел $V=\lbrace -15,-14,...,0,...,14,15\rbrace$ над полем $K=\lbrace-1,0,1\rbrace$, размерность его очевидно равна $dimS=15$, как минимальное число линейно независимых векторов (базис).
Выберем какое-либо подмножество векторного пространства, в нашем случае оно единственно:
$S=\lbrace-1,0,1\rbrace$ и его размерность очевидно $dimS=1$
В книге Винберга "Курс алгебры" даётся такое определение: совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из $S$ называется линейной оболочкой.
Линейная комбинация есть ничто иное, как $\lambda_1*a_1+\lambda_2*a_2...$, где $a\in{V}$ и $\lambda\in{K}$
Значит в нашем случае получиться довольно много линейных комбинаций векторов из $S$ с лямбдами из $K$, учитывая различные перестановки, и число слагаемых в самой комбинации (2 или 3 в нашем случае), так это и будет линейная оболочка? Тогда какова размерность этой линейной оболочки, мне это нужно для понимания следующего определения:
Рангом системы векторов называется размерность её линейной оболочки (тоже из книги Винберга).

[Otta]

Viktor92
А как определена операция сложения векторов в этом "пространстве"? (Умножение на число, судя по всему, определено стандартно.)

[Xaositect]

Также неплохо было бы знать, как определено сложение в этом поле, а то мало ли.

[Viktor92]

Otta в сообщении #939324 писал(а):

А как определена операция сложения векторов в этом "пространстве"? (Умножение на число, судя по всему, определено стандартно.)

Относительно сложения V -абелева группа, в поле K тоже. Это насколько я понял, только вот закрадывается мысль необходимо ли для абелевой группы, чтобы результат сложения в ней принадлежал самой группе? Я просто только начал изучать алгебру (по Винбергу),так что не судите строго У него для абелевой группы определены такие свойства, как коммутативность и ассоциативность, существование нулевого элемента и противоположного, а вот принадлежность результата действий в группе к этой группе не оговорено, если же это так, то группы абелевы должны быть всегда бесконечны получается...

[Xaositect]

Viktor92 в сообщении #939342 писал(а):

Относительно сложения V -абелева группа, в поле K тоже. Это насколько я понял, только вот закрадывается мысль необходимо ли для абелевой группы, чтобы результат сложения в ней принадлежал самой группе?

Да.

Viktor92 в сообщении #939342 писал(а):

Я просто только начал изучать алгебру (по Винбергу),так что не судите строго У него для абелевой группы определены такие свойства, как коммутативность и ассоциативность, существование нулевого элемента и противоположного, а вот принадлежность результата действий в группе к этой группе не оговорено

Посмотрите в самом первом параграфе определение операции.

Viktor92 в сообщении #939342 писал(а):

если же это так, то группы абелевы должны быть всегда бесконечны получается...

Нет.

[Viktor92]

Получается мой пример приведённый выше не верен, даже не знаю какой простой пример придумать с конечным числом элементов, чтобы удовлетворял сложению в абелевой группе возможно множество $\lblace-1,0,1\rblace$ является абелевой группой относительно сложения.Тогда можете объяснить, что такое линейная оболочка и её размерность, уже в разных книжках почитал, ничего не пойму...

[provincialka]

А вам непременно конечное пространство нужно? Может, на обычном, двух-трехмерном посмотреть? Например, плоскость можно получить как линейную оболочку двух неколлинеарных векторов.

[Viktor92]

На конечном было бы интереснее, т.к. везде приводятся примеры в бесконечных числовых/евклидовых пространствах, но ведь есть и конечные пространства. Вы написали

Цитата:

плоскость можно получить как линейную оболочку двух неколлинеарных векторов.

, т.е. это тоже самое что базисом в плоскости является два любых не коллинеарных вектора, а что же такое линейная оболочка , для чего вводится? Ещё раз определение из Винберга: совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из $S$ называется линейной оболочкой. Может здесь понимаются линейно независимые комбинации? Тогда линейной оболочкой для плоскости можно считать множество всех не коллинеарных векторов (их бесчисленное множество), а размерность этой оболочки будет определяться, размерностью одного элемента множества этой оболочки?

[provincialka]

Viktor92 в сообщении #939375 писал(а):

то тоже самое что базисом в плоскости является два любых не коллинеарных вектора, а что же такое линейная оболочка , для чего вводится?

Именно. Если пространство/подпространство уже задано, в нем можно искать базис. И наоборот, если задан некоторый набор векторов, из них можно строить новые векторы. Исходные векторы будут полной системой в полученном пространстве. Правда, не обязательно независимой.

Думаю, вам рано говорить об оболочках в конечных лин. пространствах.
Вам бы в обычном разобраться.
Кроме того, вы пока не привели примера конечного лин. пространства.

[kp9r4d]

Viktor92
Возьмём трёхмерное пространство над $\mathbb{R}$. Все его собственные подпространства: это либо одна точка (ноль), либо прямые, проходящие через $0$, либо плоскости, проходящие, через $0$. Определение линейной оболочки можно дать ещё так: «наименьшее подпространство, содержащее данную систему векторов $S$». Оболочка любого ненулевого вектора - прямая, проходящая через этот вектор, оболочка любой системы попарно коллинеарных векторов: прямая, проходящая через их всех. Оболочка любой пары не коллинеарных векторов: плоскость, проходящая через их всех. Если взять любую систему векторов, лежащих на плоскости, в которых есть хотя бы пара неколлиниарных, то линейная оболочка этой системы: плоскость, проходящая через их всех. Если у нас есть тройка некомпланарных векторов, то её линейной оболочкой будет всё пространство.
В общем случае линейную оболочку можно определить так, дали нам систему векторов и мы смотрим:
1) все ли они нулевые (тогда лин. оболочка $0$)
2) существует ли прямая, проходящая через их всех, и через $0$ (тогда лин. оболочка - эта прямая)
3) существует ли плоскость, проходящая через их всех, и через $0$ (тогда лин. оболочка - вся эта плоскость)
4) иначе, оболочка - всё пространство
Все эти геометрические образы без особых травм переносятся на конечные лин. пространства и пространства большей размерности.

[Viktor92]

Спасибо, получается размерность линейной оболочки того или иного векторного пространства, равна размерности самого пространства? И если перенести на 4-х мерное пространство,то в нём
1) Плоскость будет линейной оболочкой для 3 линейно независимых векторов
2) Прямая есть линейная для 2 линейно независимых векторов
3) Если все они линейно зависимые, то линейная оболочка равна 0
Только вот непонятно, для чего она вводится? Просто как удобный инструмент построение теории?

[kp9r4d]

Viktor92 в сообщении #939390 писал(а):

получается размерность линейной оболочки того или иного векторного пространства

Линейная оболочка берётся не от пространств, а от множеств векторов. Линейная оболочка системы всех векторов в пространстве совпадает с пространством, да.

Viktor92 в сообщении #939390 писал(а):

1) Плоскость будет линейной оболочкой для 3 линейно независимых векторов
2) Прямая есть линейная для 2 линейно независимых векторов
3) Если все они линейно зависимые, то линейная оболочка равна 0

Нет, вряд ли. Попробуйте в четырёхмерном пространстве (явно) выписать оболочку системы из одного вектора: $(1,2,0,1)$.

[Viktor92]

Ну если один вектор нулевой, то можно считать, что наименьшее из подпространств содержащее систему из трёх векторов $(1,2,1)$ будет трёхмерное пространство, которое я так понимаю можно условно считать проходящим через 0 вектор четырёхмерного пространства, т.к. он нулевой, извиняюсь за тавтологию.

[kp9r4d]

Viktor92
$(1,2,0,1)$ - это один вектор.

[Viktor92]

А ответ должен быть числом? Один вектор вероятно всё таки породит прямую в чётырёхмерном пространстве.