Линейная оболочка векторного пространства

[Viktor92]

Линейная оболочка будет $\lambda*(1,1)$, векторы принадлежащие данной оболочке будут например $(2,2), (3,3), (5,5)$,
базис будет например $(1,0), (0,1) $ (орты i,j), и линейная оболочка - прямая, размерность её 2.

[kp9r4d]

Цитата:

Линейная оболочка будет $\lambda*(1,1)$, векторы принадлежащие данной оболочке будут например $(2,2), (3,3), (5,5)$,
базис будет например $(1,0), (0,1) $ (орты i,j), и линейная оболочка - прямая, размерность её 2.

Разве базис не должен лежать в том пространстве, базисом чего он является?

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #939868 писал(а):

базис будет например $(1,0), (0,1) $

А почему не $(-83,7), (2,5555)$?

Вы путаете базис пространства целиком и базис линейной оболочки, которая является его подпространством и, разумеется, может иметь размерность поменьше, как вы и сами видите. А $(1,0)$ не принадлежит даже этой оболочке — как он может входить в её базис?

[ewert]

provincialka в сообщении #939817 писал(а):

Так чем (геометрически) будет линейная оболочка вектора $(1,2,0,1)$?

Да ничем, ничем не будет: числа 2 у нас просто нетути.

[provincialka]

ewert В смысле?
А, вы имеете в виду "пространство" из первого поста? Так мы вроде уже перешли к четырехмерному. А от него плавно - к двумерному.

[ewert]

(Оффтоп)

Если смысла изначально не было, и никакой внятной доформулировки ни в одном из дальнейших постов не поступило, и всё дальнейшее обсуждение крякает как утка -- значит, оно крякает.

[Viktor92]

kp9r4d
писал(а):

Разве базис не должен лежать в том пространстве, базисом чего он является?

Скорей плоскости, я думал просто , что например в векторе $(1,1)$ числа являются его координатами при разложении например по ортонормированному базису на плоскости , может тогда базисом для линейной оболочки $\lambda(1,1)$ будет любой вектор из этой оболочки, т.е. лежащий на данной прямой, но тогда достаточно было бы одной координаты вектора.

[kp9r4d]

Viktor92 в сообщении #939919 писал(а):

Скорей плоскости, я думал просто , что например в векторе $(1,1)$ числа являются его координатами при разложении например по ортонормированному базису на плоскости

Это правда.

Viktor92 в сообщении #939919 писал(а):

может тогда базисом для линейной оболочки $\lambda(1,1)$ будет любой вектор из этой оболочки, т.е. лежащий на данной прямой

А вы не гадайте, а посмотрите определение базиса и подумайте, базис какого подпространства вам надо найти.

[ewert]

Viktor92 в сообщении #939919 писал(а):

может тогда базисом для линейной оболочки $\lambda(1,1)$ будет любой вектор из этой оболочки, т.е. лежащий на данной прямой,

Естественно.

Viktor92 в сообщении #939919 писал(а):

но тогда достаточно было бы одной координаты вектора.

Боюсь, что Вы не выучили, что называется координатами. Это отнюдь не то, что является нам цифирками в скобочках.

[Viktor92]

ewert в сообщении #939938 писал(а):

Боюсь, что Вы не выучили, что называется координатами. Это отнюдь не то, что является нам цифирками в скобочках.

Эх, вы меня совсем запутали. В приведённом выше примере ведь "цифры в скобочках" в принципе являлись координатами для вектора заданного на плоскости (евклидовой) в базисе из двух любых не коллинеарных векторов.
И kp9r4d это подтвердил .
Чем же тогда являются эти цифры? Их называют , то координатами, то компонентами.
Вообще я понял так: пусть у нас есть система множества векторов, если возьмём линейную оболочку этих векторов , т.е. всевозможные линейные комбинации, и начнём например "выкидывать" вектора из них, до тех пока останутся только линейно независимые комбинации, то это и будет базисы этой линейной оболочки (их множество), но число векторов в каждом из них одно и тоже, это и есть размерность линейной оболочки.

[kp9r4d]

Viktor92 в сообщении #939958 писал(а):

Вообще я понял так: пусть у нас есть система множества векторов, если возьмём линейную оболочку этих векторов , т.е. всевозможные линейные комбинации, и начнём например "выкидывать" вектора из них, до тех пока останутся только линейно независимые комбинации, то это и будет базисы этой линейной оболочки (их множество), но число векторов в каждом из них одно и тоже, это и есть размерность линейной оболочки.

Я, вообще, не очень понял конструкции но лучше, всё же, пользоваться стандартными определениями из учебника. Тем паче, что определений базиса (эквивалентных) не так уж и мало. Ну вы, вроде как, линейную оболочку определили правильно, хотя есть ощущение что всё ещё не понимайте, что такое базис, давайте так.
Найти по два различных базиса в следующих пространствах:
а) Двумерное вещественное $\mathbb{R}^2$
б) Трёхмерное вещественное $\mathbb{R}^3$
в) Пятимерное вещественное $\mathbb{R}^5$
г) Пространство многочленов с вещественными коэффициентами, степени не больше, чем 3
д) Пространство двумерных матриц с вещественными элементами
е) Пространство всех функций из конечного множества $A$, мощность которого равна $3$ в $\mathbb{R}$.

[Viktor92]

Спасибо за задачки, буду пользоваться таким определением базиса: базисом векторного пространства $V$, называется система векторов, если каждый вектор $a\in{V}$ единственным образом выражается через них.
а) Насколько я понимаю пространство $\mathbb{R}^2$ это пространство всевозможных строк из двух чисел, которые и называются векторами данного пространства. Базисами могут быть: $\lbrace(1,0), (0,1)\rbrace$ или любые вектора вида $\lbrace\lambda_1(1,0), \lambda_2(0,1)\rbrace$, где $\lambda_{1,2}\in {R}$.
Для остальных примеров аналогично
б)$\lbrace(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)\rbrace$ или $\lbrace(3,0,0), (0,5,0), (0,0,7)\rbrace$
в)$\lbrace(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)\rbrace$ или $\lbrace(3,0,0,0,0),(0,5,0,0,0),(0,0,9,0,0),(0,0,0,7,0),(0,0,0,0,117)\rbrace$
г)В пространство многочленов до степени 3, я так понимаю входят многочлены вида:
$ax+c=0$, $ax^2+bx+c=0$, $ax^3+bx^2+mx+c=0$
Чтобы получить линейной комбинацией один из них необходимо иметь например такой базис.
$\lbrace(x, x^2,x^3,\forall {C\in{R}}),\rbrace$, т.е. получается такое пространство многочленов четырёхмерно.
д) Пространство таких матриц получается четырёхмерно:

$$ \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ​$$​
е) Векторами данного пространства являются функции над конечным множеством $A$, состоящего из любых 3 членов принадлежащих $\mathbb{R}$ Значит пространство будет трёхмерно, а базисом будет 3 дельта-функции, определённые (принимающие значение 1) для этих 3-х членов.

[provincialka]

Слишком уж узко вы мыслите. Почему базисные вектора непременно должны идти вдоль "осей координат"? Вы возьмите их и поверните! Например, будет ли базисом в $\mathbb{R}^2$ пара векторов $e_1=(1;2),e_2=(2;-1)$?

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #940297 писал(а):

$\lbrace(x, x^2,x^3,\forall {C\in{R}}),\rbrace$,

Вот честно, как прикажете понимать такую запись?

[Evgenjy]

Viktor92 в сообщении #940297 писал(а):

буду пользоваться таким определением базиса: базисом векторного пространства $V$, называется система векторов, если каждый вектор $a\in{V}$ единственным образом выражается через них.

Не зарекайтесь. Могут оказаться полезными и другие определения.