Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.

[SlayZar]

Требуется заполнить таблицу так, чтобы получилась группа и определить, изоморфна ли полученная группа какой-нибудь из известных групп:

$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c} * & a & b & c & d & e & f \\ \hline a& & & & d & &\\ \hline b& & & & & &\\ \hline c& & & & & a&\\ \hline d & d & & f & a & &\\ \hline e& & &a & & &\\ \hline f& & & & & d &\\ \end{tabular}$$

Группа должна удовлетворять свойствам ассоциативности, в ней должен существовать нейтральный и обратный элемент.
Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной. Можем заполнить некоторые ячейки таблицы:

$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c} * & a & b & c & d & e & f \\ \hline a& a & b & c & d & e & f \\ \hline b& b & & & & &\\ \hline c& c & & & f & a&\\ \hline d & d & & f & a & &\\ \hline e& e & &a & & &d\\ \hline f& f & & & & d &\\ \end{tabular}$$

Подскажите, пожалуйста, как действовать дальше? Вроде бы каждая строка смещает элементы на один влево и должна получиться такая матрица:

$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c} * & a & b & c & d & e & f \\ \hline a& a & b & c & d & e & f \\ \hline b& b & c & d & e & f& a\\ \hline c& c & d & e & f & a& b\\ \hline d & d & e & f & a & b & c\\ \hline e& e & f &a & b & c &d\\ \hline f& f & a & b & c & d &e\\ \end{tabular}$$

Это ведь правильно? Но как это обосновать? И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?
Помогите, пожалуйста.

[cool.phenon]

Циклическая группа порядка 6.

[kp9r4d]

SlayZar в сообщении #940456 писал(а):

Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной.

Необязательно и то и другое, вообще говоря. В задании сказано заполнить таблицу так, чтобы получилась группа, не сказано найти все возможные «продолжения» таблиц так что, формально, задание вы выполнили предоставив последнюю таблицу.

SlayZar в сообщении #940456 писал(а):

И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):

Необязательно и то

Почему же? Если $ad = d$, то $d = a^{-1}d$, и в результате $a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.

[ИСН]

kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):

Необязательно и то и другое, вообще говоря.

Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?

arseniiv в сообщении #940464 писал(а):

$a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.

Я видел группу на сто с лишним элементов, каждый из которых был равен своему обратному. Вы вывели то, но не туда.

[kp9r4d]

Цитата:

Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?

Да, правда, глупость сказал.

[arseniiv]

ИСН в сообщении #940468 писал(а):

Вы вывели то, но не туда.

Ой.

Ну да, $\mathbb Z_2^{100500}$ всегда с нами…

[grizzly]

И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

[SlayZar]

grizzly в сообщении #940476 писал(а):

И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

А. то есть домножим $dc$ на $d$, получим $d(dc)=(dd)c$ ( по св-ву ассоциативности), но $dc=f$, а $dd=a$
И отсюда получаем, что $df =ac=c$
И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):

SlayZar в сообщении #940456 писал(а):

И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

А, точно, это получается сложение по модулю $6$. Только вот, чтобы доказать, что они изоморфны, надо, чтобы между ними существовало биективное отображение. Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?

[arseniiv]

SlayZar в сообщении #940525 писал(а):

Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?

Да, т. к. таблица и хранит всю информацию о множестве элементов и операции $*$. Правда, в общем случае строки-столбцы придётся переставлять, чтобы получить совпадение, да и в более общем случае такой метод будет неудобным (например, группа из 64 элементов, и надо проверить, не изоморфна ли она $\mathbb Z_4^3$, или группа бесконечная).

P. S. На всякий случай иллюстрация к перестановке: группы с «неодинаковыми» таблицами умножения

$$\begin{array}{c|ccc} * & u & v & w \\\hline u & v & w & u \\ v & w & u & v \\ w & u & v & w \end{array}\quad\quad\text{и}\quad\quad\begin{array}{c|ccc} \star & 5 & 1 & 2 \\\hline 5 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 5 & 1 \end{array}$$

изоморфны всё равно, что видно при перезаписи таблицы в виде, скажем,

$$\begin{array}{c|ccc} \star & 1 & 2 & 5 \\\hline 1 & 2 & 5 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 5 \end{array}$$

[grizzly]

SlayZar в сообщении #940525 писал(а):

И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

Не всё так просто. Но если задаться целью, то можно заполнить все клетки в лоб, используя только те, что даны и свойства группы. Хотя и придётся возиться чуть ли не с каждой клеткой персонально.

Это я так понял первоначальный вопрос. Но если видите возможность пользоваться другими (более общими) соображениями, то оно должно быть эффективнее.

[provincialka]

Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

[grizzly]

provincialka в сообщении #940535 писал(а):

По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

Ну вот, осталось от интересной задачи скучное судоку :)

[SlayZar]

provincialka в сообщении #940535 писал(а):

Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

Да, действительно судоку получается) довольно быстро можно заполнить, спасибо за помощь)
И все таки еще вопрос: можно пользоваться тем, что матрица должна симметричной или, вообще говоря, это неверно?

[provincialka]

Вообще говоря, это неверно.