2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение04.12.2014, 23:57 
Требуется заполнить таблицу так, чтобы получилась группа и определить, изоморфна ли полученная группа какой-нибудь из известных групп:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&   &  & & d & &\\
\hline
b&   &  & & & &\\
\hline
c&   &  & & & a&\\
\hline
d & d  &  & f & a & &\\
\hline
e&  &  &a & & &\\
\hline
f&   &  & & & d &\\
\end{tabular}$$

Группа должна удовлетворять свойствам ассоциативности, в ней должен существовать нейтральный и обратный элемент.
Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной. Можем заполнить некоторые ячейки таблицы:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&  a & b & c & d & e & f \\
\hline
b& b  &  & & & &\\
\hline
c&  c &  & & f & a&\\
\hline
d & d  &  & f & a & &\\
\hline
e& e &  &a & & &d\\
\hline
f&  f &  & & & d &\\
\end{tabular}$$
Подскажите, пожалуйста, как действовать дальше? Вроде бы каждая строка смещает элементы на один влево и должна получиться такая матрица:
$$\begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|lr|c}
* & a & b & c & d & e & f \\
\hline
a&  a & b & c & d & e & f \\
\hline
b& b  & c & d & e & f& a\\
\hline
c&  c & d & e & f & a& b\\
\hline
d & d  & e & f & a & b & c\\
\hline
e& e & f &a & b  & c &d\\
\hline
f&  f & a & b & c & d &e\\
\end{tabular}$$
Это ведь правильно? Но как это обосновать? И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?
Помогите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:05 
Аватара пользователя
Циклическая группа порядка 6.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:06 
Аватара пользователя
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
Ясно, что нейтральным элементом будет $a$, а матрица будет симметричной.

Необязательно и то и другое, вообще говоря. В задании сказано заполнить таблицу так, чтобы получилась группа, не сказано найти все возможные «продолжения» таблиц так что, формально, задание вы выполнили предоставив последнюю таблицу.
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:11 
kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
Необязательно и то
Почему же? Если $ad = d$, то $d = a^{-1}d$, и в результате $a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:14 
Аватара пользователя
kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
Необязательно и то и другое, вообще говоря.
Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?
arseniiv в сообщении #940464 писал(а):
$a = a^{-1}$, т. е. $a$ таки нейтральный элемент.
:shock: :shock: Я видел группу на сто с лишним элементов, каждый из которых был равен своему обратному. Вы вывели то, но не туда.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:17 
Аватара пользователя
Цитата:
Побойтесь бога. Второе-то ладно, а первое? Если $a\cdot d=d$, то какие ещё варианты?

Да, правда, глупость сказал.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:18 
ИСН в сообщении #940468 писал(а):
Вы вывели то, но не туда.
:mrgreen: Ой.

Ну да, $\mathbb Z_2^{100500}$ всегда с нами…

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 00:21 
Аватара пользователя
И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:16 
grizzly в сообщении #940476 писал(а):
И как всегда товарищ спрашивающий уже никого не интересует :) Попробую немного подсказать, надеясь, что не сильно переборщу.

Используйте максимально информацию о нейтральном элементе. Возьмите, для примера, клеточку $dc=f$. Что будет, если обе части равенства "домножить" на $d$ слева? Надеюсь, такого намёка пока хватит.

А. то есть домножим $dc$ на $d$, получим $d(dc)=(dd)c$ ( по св-ву ассоциативности), но $dc=f$, а $dd=a$
И отсюда получаем, что $df =ac=c$
И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

kp9r4d в сообщении #940460 писал(а):
SlayZar в сообщении #940456 писал(а):
И как можно определить, какой группе изоморфна данная группа?

Начнём с другой стороны. Группа, очевидно, конечная и шестого порядка. Какие конечные группы шестого порядка вы знаете?

А, точно, это получается сложение по модулю $6$. Только вот, чтобы доказать, что они изоморфны, надо, чтобы между ними существовало биективное отображение. Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:24 
SlayZar в сообщении #940525 писал(а):
Достаточно ли будет того, что их матрицы идентичны?
Да, т. к. таблица и хранит всю информацию о множестве элементов и операции $*$. Правда, в общем случае строки-столбцы придётся переставлять, чтобы получить совпадение, да и в более общем случае такой метод будет неудобным (например, группа из 64 элементов, и надо проверить, не изоморфна ли она $\mathbb Z_4^3$, или группа бесконечная).

P. S. На всякий случай иллюстрация к перестановке: группы с «неодинаковыми» таблицами умножения$$\begin{array}{c|ccc} * & u & v & w \\\hline u & v & w & u \\ v & w & u & v \\ w & u & v & w \end{array}\quad\quad\text{и}\quad\quad\begin{array}{c|ccc} \star & 5 & 1 & 2 \\\hline 5 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 5 & 1 \end{array}$$изоморфны всё равно, что видно при перезаписи таблицы в виде, скажем,$$\begin{array}{c|ccc} \star & 1 & 2 & 5 \\\hline 1 & 2 & 5 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 5 \end{array}$$

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:31 
Аватара пользователя
SlayZar в сообщении #940525 писал(а):
И так, по аналогии, получается можем доказать для всех остальных, да?

Не всё так просто. Но если задаться целью, то можно заполнить все клетки в лоб, используя только те, что даны и свойства группы. Хотя и придётся возиться чуть ли не с каждой клеткой персонально.

Это я так понял первоначальный вопрос. Но если видите возможность пользоваться другими (более общими) соображениями, то оно должно быть эффективнее.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:33 
Аватара пользователя
Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:51 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #940535 писал(а):
По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.

Ну вот, осталось от интересной задачи скучное судоку :)

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:55 
provincialka в сообщении #940535 писал(а):
Не актуально, но есть еще такое соображение: в каждой клетке и в каждом столбце элементы не повторяются и каждый присутствует по одному разу. По этому принципу с некоторого момента заполнение пойдет достаточно быстро.


Да, действительно судоку получается) довольно быстро можно заполнить, спасибо за помощь)
И все таки еще вопрос: можно пользоваться тем, что матрица должна симметричной или, вообще говоря, это неверно?

 
 
 
 Re: Заполнить таблицу так, чтобы получилась группа.
Сообщение05.12.2014, 01:57 
Аватара пользователя
Вообще говоря, это неверно.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group