ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, понять такое задание:

Найти образ $E$ области

$$D: \left \{ |z|<1; \quad 0 < \arg{z} < \frac{\pi}{2} \right \}$$

плоскости $z$ при отображении функцией $w=z^2$.

Область $D$ представляет собой сектор открытого круга $|z|<1$ между лучами \varphi = 0 и \varphi = \frac{\pi}{2}.

(Рисунок области D)

Известно, что функция $w=z^n$ отображает взаимно-однозначно и конформно внутренность любого угла с вершиной в точке $z=0$ и раствора $\alpha$ , $0 < \alpha < \frac{2 \pi}{n}$, на внутренность угла с вершиной в точке $w=0$ и раствора $n \alpha$.

При $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ функция $w=z^n$ отображает область $\left \{ \varphi_{0} < \arg{z} < \varphi_{0} + \frac{2\pi}{n} \right \}$ на плоскость с разрезом вдоль луча $\arg w = n \cdot \varphi_{0}$.

По условию $n=2$.

То есть область $\left \{0 < \arg{z} < \frac{\pi}{2} \right \}$ отобразится на область $\left \{0 < \arg{z} < 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right \}$ или $\left \{0 < \arg{z} < \pi \right \}$ с разрезом вдоль положительной части оси $Ox$.

И вот тут непонятен момент: зачем добавлять слова про разрез, если у нас и так неравенства строгие?

Образом окружности $|z|=1$ будет окружность $|z|=1^2$ или $|z|=1$.


Итого, область $D$ отобразится на область

$$E: \left \{ |z|<1; \quad 0 < \arg{z} < \pi \right \}$$

Подскажите, пожалуйста, я верно мыслю?

Спасибо!

[ewert]

Limit79 в сообщении #940201 писал(а):

И вот тут непонятен момент: зачем добавлять слова про разрез, если у нас и так неравенства строгие?

А кто Вас заставлял их добавлять?...

[Limit79]

ewert

Не заставлял никто, но вот тут:

Limit79 в сообщении #940201 писал(а):

При $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ функция $w=z^n$ отображает область $\left \{ \varphi_{0} < \arg{z} < \varphi_{0} + \frac{2\pi}{n} \right \}$ на плоскость с разрезом вдоль луча $\arg w = n \cdot \varphi_{0}$.

Тоже неравенства строгие, но фраза про разрез есть. Причем почему-то только про один.

И вообще, в принципе, это задание можно так делать? Или же нужно выделять действительную и мнимую части функции $w=z^2$ и смотреть куда переходят точки?

[ewert]

Limit79 в сообщении #940211 писал(а):

но вот тут:

А тут совсем не Ваш случай. Угадайте, почему.

Limit79 в сообщении #940211 писал(а):

И вообще, в принципе, это задание можно так делать?

В принципе можно, только не до такой степени занудно. Вполне достаточно обосновать всё это дело словом "очевидно".

Limit79 в сообщении #940211 писал(а):

Или же нужно выделять действительную и мнимую части функции $w=z^2$

А вот это уже было бы абсолютно вредно. Задачка -- на именно геометрический смысл этого преобразования.

[Limit79]

ewert в сообщении #940214 писал(а):

А тут совсем не Ваш случай. Угадайте, почему.

Там написано, при $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$, а это как раз граничные точки для аргумента (которые у меня выколоты)?

[ewert]

Там совпадающие эны в фрагментах формулировки, а у Вас -- несколько отнюдь.

[Limit79]

ewert
Спасибо.

Проверки ради, я все же выделил действительную и мнимую части, и у меня получилось, что точка $\left ( \frac{1}{2} ; 0 \right )$ переходит в точку $\left ( \frac{1}{4} ; 0 \right )$, и как-то этот момент непонятен, ведь область как бы растягивается в два раза вдоль дуги окружности (простите за мой французский, не знаю, как лучше это сказать), но для точки $\left ( \frac{1}{2} ; 0 \right )$ вторая координата не меняется...

[provincialka]

Limit79 в сообщении #940234 писал(а):

ведь область как бы растягивается в два раза вдоль дуги окружности

Она раскрывается, как веер. Но одна сторона этого веера зафиксирована. А именно - положительное направление оси $Ox$

[Limit79]

provincialka
То есть любая точка на положительном направлении оси $Ox$ при данном отображении так и останется на этой же оси?

[provincialka]

Limit79, что за привычка переспрашивать то, что уже сказано. Будьте увереннее в себе! А так - да, конечно. Кто бы сомневался, что квадрат вещетвенного числа - положительное вещественное число.

[Limit79]

Спасибо.