Ряд Лорана в окрестности (?)существенно особой(?) точки

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такое задание:

Разложить функцию

$$f(z) = z \cdot \sin \left ( \frac{1}{z-2} \right )$$

в окрестности изолированной особой точки и определить характер этой особой точки.

Используем разложение

$$\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot z^{2n+1}, \quad z \in \mathbb C $$

Получаем:

$$\sin \left ( \frac{1}{z-2} \right ) = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{6 \cdot (z-2)^3} + \frac{1}{120 \cdot (z-2)^5} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \frac{1}{(z-2)^{2n+1}}$$

и

$$z \cdot \sin \left ( \frac{1}{z-2} \right ) = \frac{z}{z-2} - \frac{z}{6 \cdot (z-2)^3} + \frac{z}{120 \cdot (z-2)^5} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \frac{z}{(z-2)^{2n+1}}$$

Область сходимости полученного ряда -- кольцо

$$0<|z-2|<+\infty$$

Полученное разложение, сходящееся в проколотой окрестности точки $z=2$, содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями $(z-2)$, поэтому точка $z=2$ является существенно особо точкой.

Подскажите, пожалуйста, верно ли это? Особенно интересен вопрос правильности перехода от разложения $\sin \left ( \frac{1}{z-2} \right ) $ к разложению $z \cdot \sin \left ( \frac{1}{z-2} \right )$...

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #940082 писал(а):

$$z \cdot \sin \left ( \frac{1}{z-2} \right ) = \frac{z}{z-2} - \frac{z}{6 \cdot (z-2)^3} + \frac{z}{120 \cdot (z-2)^5} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \frac{z}{(z-2)^{2n+1}}$$

Это еще не разложение.
Что там делает одинокий $z$ в числителе?

[Limit79]

Otta

$$z \cdot \sin \left ( \frac{1}{z-2} \right ) = \frac{z}{z-2} - \frac{z}{6 \cdot (z-2)^3} + \frac{z}{120 \cdot (z-2)^5} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \frac{z}{(z-2)^{2n+1}} = $$

$$ = \frac{z-2+2}{z-2} - \frac{z-2+2}{6 \cdot (z-2)^3} + \frac{z-2+2}{120 \cdot (z-2)^5} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \frac{z-2+2}{(z-2)^{2n+1}} = $$

$$ = 1 + \frac{2}{z-2} - \frac{1}{6 \cdot (z-2)^2} - \frac{1}{3 \cdot (z-2)^3} + \frac{1}{120 \cdot (z-2)^4} + \frac{1}{60 \cdot (z-2)^5} + ... +$$

$$ + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot \left (\frac{1}{(z-2)^{2n}} + \frac{2}{(z-2)^{2n+1}} \right )$$

Вот так?

[Otta]

Limit79
Идейно - да. Но у Вас же ряд. Почему Вы упорно ограничиваетесь конечным числом слагаемых?

[Limit79]

Otta
Ой, в самый первый раз в самом конце плюс забыл поставить, а дальше все так и поехало...

Спасибо большое за помощь!

[ewert]

Идейно вообще-то наоборот: сделать замену $z-2=w$ и далее тупо по курсу. А так -- тоже можно, конечно, но как-то чересчур уж изобретательно.