Трансформация 4-тока при непрямолинейном движении

[Cryo]

Здравствуйте

Подскажите пожалуйста как будет транформироваться 4-ток для частицы которая движется, к примеру, по круговой орбите. Конкретный пример который меня интересует это подобная трансформация для частицы с электрическим диполем.

тоесть, если частица неподвижна её 4-ток: $J^{\mu}=(c\vec{p}.\nabla\delta^{(3)}(\vec{r}), \vec{0})$
где $\vec{p}$ это дипольный момент, а $\delta^{(3)}$ это 3х-мерная дельта-функция.

Каким будет 4-ток для неподвижного наблюдателя вокруг которого частица движется по круговой орбите? Ориентация $\vec{p}$ радиальная, но хотелось бы понять как подступиться к подобной задаче в общем случае.

Насколько я понял в рамках СТО обычно рассматривается ускорение вдоль направления движения частицы. Где почитать про правила преобразования в случаях произвольного ускорения?

Большое спасибо!

PS: Если Вас интересует откуда у меня такой вопрос: я сейчас ознакомляюсь с HMW эффектом (Phys. Rev. Lett. 109, 120404 (2012) к примеру) и мне хочется понять как обобщить их выкладки до релятивистких скоростей.

[Munin]

Cryo в сообщении #939673 писал(а):

тоесть, если частица неподвижна её 4-ток: $J^{\mu}=(c\vec{p}.\nabla\delta^{(3)}(\vec{r}), \vec{0})$

Что-то не то с этим выражением. Где временна́я часть, где пространственная? Что такое точка? Дипольный момент одной частицы - это обычно $\vec{p}=q\vec{r},$ при чём он в этом выражении?

Cryo в сообщении #939673 писал(а):

Ориентация $\vec{p}$ радиальная

У вас что, ещё и система координат не декартова?

Cryo в сообщении #939673 писал(а):

Насколько я понял в рамках СТО обычно рассматривается ускорение вдоль направления движения частицы.

Нет, конечно, в любом.

Cryo в сообщении #939673 писал(а):

Где почитать про правила преобразования в случаях произвольного ускорения?

ЛЛ-2 первая глава - там всё подробно (для 4-векторов).

Для частиц, зарядов и токов - третья глава. Кроме того, используются стандартные свойства дельта-функции для замены переменных.

[Cryo]

Цитата:

Что-то не то с этим выражением. Где временна́я часть, где пространственная? Что такое точка? Дипольный момент одной частицы - это обычно $\vec{p}=q\vec{r},$ при чём он в этом выражении?

Здесь я старался ничего не изобретать. В общем случае $J^\mu=(c\rho,\vec{J})$, где $\rho$ это плотность заряда а $\vec{J}$ это плотность тока. Соответственно $c\rho$ это временная часть а $\vec{J}$ это пространственная. Не совсем понимаю Ваш вопрос по-поводу точки

У нас частица (point particle) с постоянным электрическим диполем. В покое (пока что). Значит $\vec{J}=\vec{0}$. Выражение для плотности заряда можно вывести изходя из плотности заряда для двух противоположно заряженных частиц сближая их до бесконечности близко. Легко проверить что $\rho=-\vec{p}.{\nabla}\delta^{(3)}(\vec{r})$ подходит по единицам и что при попытке найти момент электрического диполя мы получим $\int{d^3r\,\vec{r}\rho}=\vec{p}$.

Цитата:

У вас что, ещё и система координат не декартова?

Ну можно и Декартовую, просто тогда $\vec{p}=\hat{x}p\cos(\varphi(t))+\hat{y}p\sin(\varphi(t))$, где $\varphi(t)$ это угол вращения по орбите (если так можно выразиться).

Цитата:

ЛЛ-2 первая глава - там всё подробно (для 4-векторов).

Для частиц, зарядов и токов - третья глава.

Спасибо. Посмотрю

Цитата:

Кроме того, используются стандартные свойства дельта-функции для замены переменных.

Извините, не понял к чему это относится

-- 03.12.2014, 17:29 --

Munin в сообщении #939718 писал(а):

ЛЛ-2 первая глава - там всё подробно (для 4-векторов).

Для частиц, зарядов и токов - третья глава. Кроме того, используются стандартные свойства дельта-функции для замены переменных.

Пролистал по-быстрому 6е издание на русском и 4е на английском. Не нашёл где рассматриваются такие преобразования. Или Вы имели ввиду то что мне следует читать ЛЛ-2 до полного просветления и тогда всё само собой объяснится?

[Munin]

Cryo в сообщении #939788 писал(а):

Не совсем понимаю Ваш вопрос по-поводу точки

Точка - это в вашей формуле $c\vec{p}.\nabla\delta^{(3)}(\vec{r})$ между $\vec{p}$ и $\nabla.$

Cryo в сообщении #939788 писал(а):

У нас частица (point particle) с постоянным электрическим диполем.

Во-о-от оно что. А, это я недочитал.

Я бы взял две точечные заряженные частицы (монополи), заставил их двигаться как мне угодно, а потом взял предел, чтобы расстояние между ними было равно нулю.

Движущиеся диполи в ЛЛ-2 действительно не рассматриваются. Рассматриваются движущиеся монополи и их системы. Про мультипольное разложение - не помню, есть оно там или нет.

[Cryo]

Munin в сообщении #939992 писал(а):

Cryo в сообщении #939788

писал(а):
Не совсем понимаю Ваш вопрос по-поводу точки
Точка - это в вашей формуле $c\vec{p}.\nabla\delta^{(3)}(\vec{r})$ между $\vec{p}$ и $\nabla.$

Я так обозначил скалярный продукт: $\vec{p}.\nabla\delta^{(3)}(\vec{r}) \equiv {p_x}{\partial_x}\delta^{(3)}(\vec{r})+{p_y}{\partial_y}\delta^{(3)}(\vec{r})+{p_z}{\partial_z}\delta^{(3)}(\vec{r})$

Munin в сообщении #939992 писал(а):

Во-о-от оно что. А, это я недочитал.

Я бы взял две точечные заряженные частицы (монополи), заставил их двигаться как мне угодно, а потом взял предел, чтобы расстояние между ними было равно нулю.

Движущиеся диполи в ЛЛ-2 действительно не рассматриваются. Рассматриваются движущиеся монополи и их системы. Про мультипольное разложение - не помню, есть оно там или нет.

Спасибо, я посмотрю. Можно последний вопрос? А как бы вы переписали $\vec{p}.\nabla \delta^{(3)}(\vec{r})$ в 4-векторах? Наверно можно принять $\vec{p}=q\vec{a}$ где $\vec{a}$ это вектор указывающий от отрицательного к положительному заряду в диполе. Тогда $p^{\mu}=qx^{\mu}$, где $x^{\mu}=(c\tau,\vec{r})$. Естественно $\nabla \to \nabla_{\mu}$. Как быть с дельта функцией? Ведь в данном случае это именно 3х-мерная дельта-функция и в 4х-мерном пространстве-времени она должна, по смыслу, быть представленна бесконечно тонкой линией.