Линейный оператор

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Линейный оператор $f$ задан матрицей $A=\bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$. Найти вектор $\vec{Y} = f(\vec{X})$, если $\vec{X}=2e_{1}+e_{2}$.

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

С нахождение собственных векторов и значений проблем нет, а вот первую часть не знаю как делать. Подскажите, пожалуйста, как начать.

Спасибо!

[main.c]

Limit79 в сообщении #939421 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как начать.

Исходный вектор задан в виде линейной комбинации базисных векторов. А теперь вспомните, что означают столбцы матрицы линейнейного оператора?

[Limit79]

main.c
Столбцами матрицы линейного оператора являются столбцы образов базисных векторов.

-- 03.12.2014, 23:08 --

То есть

$$\vec{e_{1}} = \bigl(\begin{smallmatrix}-1 \\ -1 \end{smallmatrix}\bigr)$$

и

$$\vec{e_{2}} = \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$$

и

$$f(\vec{X}) = 2 \cdot \bigl(\begin{smallmatrix}-1 \\ -1 \end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr)$$

?

-- 03.12.2014, 23:36 --

Хотя нет.

Вроде так:

$$f(\vec{X}) = A \cdot \vec{X} = \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr) $$

?

[main.c]

Нет, немного не так. Надо записывать вектор в виде строки, а не столбца. Тогда образ вектора это ни что иное, как вектор умноженный справа на матрицу линейного оператора.

-- 04.12.2014, 01:09 --

Не, ну в теории никто не мешает Вам записывать вектор в столбец, но тогда уже строки матрицы линейного оператора должны быть образами базисных векторов и умножать уже надо слева. Но так как принято записывать матрицы ЛО именно по столбцам, а Ваша матрица задана в условии, то этот вариант не подходит, и нужно делать так, как я написал выше.

[Limit79]

main.c
То есть вот так

$$f(\vec{X}) = \vec{X} \cdot A = \bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} -3 & 4 \end{smallmatrix}\bigr)$$

?

Тогда не пойму: вот здесь (Матрица оператора. Теорема 1) написано, что $\vec{Y} =A \cdot \vec{X}$

-- 04.12.2014, 02:45 --

Задачка-то, наверное, элементарная, а вот подобного примера нигде найти не могу.

[main.c]

Простите, совсем Вас запутал Всё верно, это мне пора идти спать видимо. Умножать надо слева.

[arseniiv]

Limit79
А у вас какие определения матрицы оператора? Если ни к каким не привязаны, переходите сразу на индексы! Вот так: $y^j = A_i{}^j x^i \equiv x^i A_i{}^j$ — и ничего нельзя перепутать. (Хотя тут могут быть разные соглашения, какой индекс координат линейного оператора контравариантный, а какой ковариантный…) Советую от балды, матрица иногда нагляднее (хотя почему бы не рисовать её по надобности).

(Оффтоп)

В моём случае были векторы-столбцы и умножались справа в одном курсе, а потом строки и слева в другом.

main.c в сообщении #940032 писал(а):

Тогда образ вектора это ни что иное, как вектор умноженный справа на матрицу линейного оператора.

Странно, всегда считал, что «$u$ умножить справа на $v$» — это $vu$ (теперь сомнения вкрались).

[Limit79]

main.c
А у Зорича разве есть учебники по линейной алгебре?

[main.c]

Limit79 в сообщении #939882 писал(а):

Вроде так:

$$f(\vec{X}) = A \cdot \vec{X} = \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr) $$

?

Вот здесь Вы сделали всё верно.

-- 04.12.2014, 02:01 --

arseniiv в сообщении #940055 писал(а):

транно, всегда считал, что «$u$ умножить справа на $v$» — это $vu$ (теперь сомнения вкрались).

Нет-нет, всё так, я именно это и имел ввиду под умножением справа. Просто меня переклинило, что умножать надо справа, а на самом деле надо слева.

[Limit79]

arseniiv
Это более сложно

main.c
Благодарю

[main.c]

Limit79 в сообщении #940057 писал(а):

main.c
А у Зорича разве есть учебники по линейной алгебре?

Винберга имел ввиду, а написал Зорича

[arseniiv]

main.c в сообщении #940058 писал(а):

Нет-нет, всё так, я именно это и имел ввиду под умножением справа. Просто меня переклинило, что умножать надо справа, а на самом деле надо слева.

А я уже успел испугаться.

Limit79 в сообщении #940060 писал(а):

Это более сложно

Да ладно! Для этого даже тензоры знать не нужно (только тогда будет непонятно, зачем индексы сверху и снизу. Хотя если пространство евклидово (и сопряжённое потому тоже), можно писать все индексы внизу, или только наверху), зато такая нотация легко при надобности перенесётся в какой-нибудь код.