2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейный оператор
Сообщение03.12.2014, 06:12 
Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Линейный оператор $f$ задан матрицей $A=\bigl(\begin{smallmatrix}
-1 & 2\\ 
-1 & 0
\end{smallmatrix}\bigr)$. Найти вектор $\vec{Y} = f(\vec{X})$, если $\vec{X}=2e_{1}+e_{2}$.

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

С нахождение собственных векторов и значений проблем нет, а вот первую часть не знаю как делать. Подскажите, пожалуйста, как начать.

Спасибо!

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение03.12.2014, 06:29 
Limit79 в сообщении #939421 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как начать.

Исходный вектор задан в виде линейной комбинации базисных векторов. А теперь вспомните, что означают столбцы матрицы линейнейного оператора?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение03.12.2014, 22:05 
main.c
Столбцами матрицы линейного оператора являются столбцы образов базисных векторов.

-- 03.12.2014, 23:08 --

То есть $$\vec{e_{1}} = \bigl(\begin{smallmatrix}-1 \\ -1 \end{smallmatrix}\bigr)$$ и $$\vec{e_{2}} = \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$$

и

$$f(\vec{X}) = 2 \cdot  \bigl(\begin{smallmatrix}-1 \\ -1 \end{smallmatrix}\bigr) +  \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr)$$ ?

-- 03.12.2014, 23:36 --

Хотя нет.

Вроде так: $$f(\vec{X}) = A \cdot  \vec{X} = \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\  -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot  \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)  =  \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr) $$ ?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:03 
Нет, немного не так. Надо записывать вектор в виде строки, а не столбца. Тогда образ вектора это ни что иное, как вектор умноженный справа на матрицу линейного оператора.

-- 04.12.2014, 01:09 --

Не, ну в теории никто не мешает Вам записывать вектор в столбец, но тогда уже строки матрицы линейного оператора должны быть образами базисных векторов и умножать уже надо слева. Но так как принято записывать матрицы ЛО именно по столбцам, а Ваша матрица задана в условии, то этот вариант не подходит, и нужно делать так, как я написал выше.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:13 
main.c
То есть вот так $$f(\vec{X}) = \vec{X} \cdot  A    =  \bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)  \cdot  \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\  -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)   =   \bigl(\begin{smallmatrix} -3 & 4 \end{smallmatrix}\bigr)$$ ?

Тогда не пойму: вот здесь (Матрица оператора. Теорема 1) написано, что $\vec{Y} =A \cdot \vec{X}$ :?:

-- 04.12.2014, 02:45 --

Задачка-то, наверное, элементарная, а вот подобного примера нигде найти не могу.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:49 
Простите, совсем Вас запутал :oops: Всё верно, это мне пора идти спать видимо. Умножать надо слева.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:51 
Limit79
А у вас какие определения матрицы оператора? Если ни к каким не привязаны, переходите сразу на индексы! Вот так: $y^j = A_i{}^j x^i \equiv x^i A_i{}^j$ — и ничего нельзя перепутать. (Хотя тут могут быть разные соглашения, какой индекс координат линейного оператора контравариантный, а какой ковариантный…) Советую от балды, матрица иногда нагляднее (хотя почему бы не рисовать её по надобности).

(Оффтоп)

В моём случае были векторы-столбцы и умножались справа в одном курсе, а потом строки и слева в другом. :shock:

main.c в сообщении #940032 писал(а):
Тогда образ вектора это ни что иное, как вектор умноженный справа на матрицу линейного оператора.
Странно, всегда считал, что «$u$ умножить справа на $v$» — это $vu$ (теперь сомнения вкрались). :?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:56 
main.c
А у Зорича разве есть учебники по линейной алгебре?

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 01:58 
Limit79 в сообщении #939882 писал(а):
Вроде так: $$f(\vec{X}) = A \cdot  \vec{X} = \bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 2\\  -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot  \bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)  =  \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\bigr) $$ ?

Вот здесь Вы сделали всё верно.

-- 04.12.2014, 02:01 --

arseniiv в сообщении #940055 писал(а):
транно, всегда считал, что «$u$ умножить справа на $v$» — это $vu$ (теперь сомнения вкрались). :?

Нет-нет, всё так, я именно это и имел ввиду под умножением справа. Просто меня переклинило, что умножать надо справа, а на самом деле надо слева.

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 02:03 
arseniiv
Это более сложно :o

main.c
Благодарю :-)

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 02:07 
Limit79 в сообщении #940057 писал(а):
main.c
А у Зорича разве есть учебники по линейной алгебре?

Винберга имел ввиду, а написал Зорича :lol:

 
 
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение04.12.2014, 03:40 
main.c в сообщении #940058 писал(а):
Нет-нет, всё так, я именно это и имел ввиду под умножением справа. Просто меня переклинило, что умножать надо справа, а на самом деле надо слева.
А я уже успел испугаться. :-)

Limit79 в сообщении #940060 писал(а):
Это более сложно :o
Да ладно! Для этого даже тензоры знать не нужно (только тогда будет непонятно, зачем индексы сверху и снизу. Хотя если пространство евклидово (и сопряжённое потому тоже), можно писать все индексы внизу, или только наверху), зато такая нотация легко при надобности перенесётся в какой-нибудь код.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group