Действия с ортогональными матрицами.

[mellom]

Найти касательное пространство к группе $SO(3)$ в данной точке.
Точка $A=\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 &1/2 &0 \\ -1/2&\sqrt{3}/2 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$ задана ортогональной матрицей, $A\cdot A^t=E$, где $A^t$ - это транспонированная матрица $A$, а $E$ - единичная матрица. Чтобы найти касательное пространство, нужно доказать, что касательное пространство к группе $SO(3)$ состоит из кососимметричных матриц $X$ ($X^t=-X$).
Заметим, что $X^tA + AX^t=0$, тогда
$X^t=-A^tXA^t$,
$(AX)^t=X^tA^t=-A^tXA^tA^t$.
Однако, следующий переход мне не понятен (кто-нибудь может расписать?):

$(AX)^t\cdot A^tA^t=-A^tAXA^t$.

Далее всё очевидно:
$-A^tAXA^t=-XA^t$
$X^t=-X$
p.s.: Если кому-то интересен ход решения, могу дописать его до конца, а пока меня интересует только переход выше.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

mellom
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Картинку сносите.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mellom]

Если это хоть как-то поможет, то $A^tA^tA^t=\begin{pmatrix} 0&-1 &0 \\ 1&0 &0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

[Brukvalub]

mellom писал(а):

Чтобы найти касательное пространство, нужно доказать, что касательное пространство к группе $SO(3)$ состоит из кососимметричных матриц $X$ ($X^t=-X$).
...

Например, здесь тривиально доказывается (я помню это док-во еще из лекций Мищенко, давным-давно читанных мне на дифгеме), что так устроено кас. пространство в единице. Но у вас-то точка касания - явно не единица, так откуда уверенность, что пространство не меняется?
(Кстати, указанный там способ отыскания кас. пр-ва может помочь и здесь).

[mellom]

Brukvalub в сообщении #939259 писал(а):

[quote="Но у вас-то точка касания - явно не единица, так откуда уверенность, что пространство не меняется?

Так в лекции, которую вы прикрепили, рассматривается случай с единицей и говорится, что этого вполне достаточно.
Однако, не понимаю, каким образом перенести то доказательство на мой случай

[mellom]

Разобрался при помощи лекции выше. Спасибо!