Эйлер, простые числа и математическая индукция

[Gts]

Эйлер предложил такое выражение $x^2 + x + 41$ для поиска простых чисел. Можно ли с помощью математической индукции показать, что это предположение ложно для $x $\in$ N$?
База индукции:
$x = 1; 1^2 + 1 + 41 = 43$, а $43$ простое число.
Переход:
$x = k$, надо доказать для $k + 1$
$(k+1)^2 + (k+1) + 41 = k^2 + 3n + 43$
Для исходного выражения $x^2 + x + 41$ вроде как нужен тест на простоту и потом его сравнить с переходом... И дальше не могу сообразить.

[provincialka]

С помощью индукции доказывается истинность, а не ложность.
Ложность доказывается (например) приведением контрпримера.

[Gts]

Тогда так. Доказать истинность предположения: $x^2 + x + 41$ даёт простые числа для $x $\in$ N$.

[ИСН]

Ага, особенно для $x=41$.

[Gts]

Ну как ещё объяснить...
Пусть у нас есть ряд $1 + 2 + 3 +...+n$.
Я предлагаю гипотезу: сумма этого ряда равна $n^2$.
Далее, с помощью математической индукции я хочу узнать, верна ли моя гипотеза.
База: $P(1)$
$1 = 1^2$ - истина

Переход: $P(n+1)$
$P(n) + P(n+1) = 1 + 2 + 3 +...+n + (n+1) = n^2 + n + 1$
Но если подставить $n+1$ в $n^2$, то мы получим $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, что не равно $n^2 + n + 1$, значит, предположение $P(n+1)$ ложно. И моя гипотеза тоже ложна.

Аналогичным образом я хочу поступить и с тем, что указано в первом сообщении.

[provincialka]

А зачем? Все-таки попытаюсь строго сформулировать вашу идею.
Вы хотите показать, что некое утверждение $A(n)$ верно для всех $n\leqslant k$ (ну, хотя бы для $n=1$), но при этом из $A(k)$ следует, что неверно $A(k+1)$. Тогда, конечно, утверждение $\forall n A(n)$ неверно.

Только зачем делать все через ...

[ИСН]

Хорошо, вот ответ на вопрос из первого сообщения:
Нет, нельзя с помощью математической индукции показать, что это предположение ложно для $x \in N$. Как и любое другое предположение. Метод математической индукции не предназначен для перевозки грузов, доказывания ложности предположений, охоты на слонов, а также ряда других занятий. То рассуждение, которого Вы ищете, во-первых, не называется и не является частным случаем метода математической индукции, во-вторых, не нужно, а в-третьих, неверно.

[Gts]

Ну вроде да, я этого и хочу. Если у нас будет очень сложное выражение, которое проверять руками трудно, а $k$ будет очень большим, то хотелось бы знать истинно ли моя гипотеза или нет.

Цитата:

Только зачем делать все через ...

А как можно ещё проверить эту гипотезу, если она будет весьма трудна для проверки так сказать руками (ну чтобы подставлять все натуральные числа подряд).

Цитата:

Нет, нельзя с помощью математической индукции показать, что это предположение ложно для $x \in N$. Как и любое другое предположение. Метод математической индукции не предназначен для перевозки грузов, доказывания ложности предположений

Я в книжке пример видел, как сделали нечто подобное тому, что я показал с рядом $1+2+3+...$. Вечером ещё посмотрю и сравню.

Цитата:

То рассуждение, которого Вы ищете, во-первых, не называется и не является частным случаем метода математической индукции, во-вторых, не нужно, а в-третьих, неверно.

А можете дать более детальный ответ?

[12d3]

Gts в сообщении #939511 писал(а):

А как можно ещё проверить эту гипотезу, если она будет весьма трудна для проверки так сказать руками (ну чтобы подставлять все натуральные числа подряд).

Придумать контрпример. В вашем случае это намного проще и указано в посте номер 4.

[provincialka]

Gts в сообщении #939511 писал(а):

А как можно ещё проверить эту гипотезу, если она будет весьма трудна для проверки так сказать руками (ну чтобы подставлять все натуральные числа подряд).

Это вопрос "философский". Для некоторых гипотез возможны упрощения, сведение к частным случаям и т.п. А про другие до сих пор неизвестно, верны они или нет (гипотеза Гольдбаха, например).
Переход от одного члена натурального ряда к последующему - это только один из многих способов рассуждения. Для изучения того, что связано с простыми числами, он практически неприменим.

[Gts]

12d3 в сообщении #939515 писал(а):

Gts в сообщении #939511 писал(а):

А как можно ещё проверить эту гипотезу, если она будет весьма трудна для проверки так сказать руками (ну чтобы подставлять все натуральные числа подряд).

Придумать контрпример. В вашем случае это намного проще и указано в посте номер 4.

Мой пример действительно простой, а если там будет многоэтажная формула, то стоит возиться с подбором переменной или можно ещё как-то поступить?

Мне математическая индукция видится таким инструментом, как сформулировала provincialka.

[ИСН]

Gts в сообщении #939511 писал(а):

Я в книжке пример видел, как сделали нечто подобное тому, что я показал с рядом $1+2+3+...$.

Я в книжке пример видел, как человека по воздуху летала. Что теперь?

Gts в сообщении #939520 писал(а):

Мой пример действительно простой, а если там будет многоэтажная формула, то стоит возиться с подбором переменной или можно ещё как-то поступить?

А этот вопрос по своей широте охвата эквивалентен такому: "если мне встретится какая-то математическая проблема, как её решать?" Вы в самом деле хотите на него получить общий, исчерпывающий, всегда применимый ответ?

[Gts]

Хорошо, я вроде понял вас всех по этому поводу "А этот вопрос по своей широте охвата эквивалентен такому: "если мне встретится какая-то математическая проблема, как её решать?"".

Просто узнав о математической индукции и посмотрев как её применяют в разных учебниках, я подумал, что это хороший инструмент для так сказать автоматизации проверки гипотез.

Не могу уяснить такое: математическая индукция предназначена для доказательства истинности предположения, а не для доказывания ложности.
Я вот выше писал:

Цитата:

Пусть у нас есть ряд $1 + 2 + 3 +...+n$.
Я предлагаю гипотезу: сумма этого ряда равна $n^2$.
Далее, с помощью математической индукции я хочу узнать, верна ли моя гипотеза.
База: $P(1)$
$1 = 1^2$ - истина

Переход: $P(n+1)$
$P(n) + P(n+1) = 1 + 2 + 3 +...+n + (n+1) = n^2 + n + 1$
Но если подставить $n+1$ в $n^2$, то мы получим $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, что не равно $n^2 + n + 1$, значит, предположение $P(n+1)$ ложно. И моя гипотеза тоже ложна.

Вот эти рассуждения верны?

[ИСН]

Верны, но не нужны. Опровергнуть гипотезу гораздо проще, предъявив такой факт: $1+2\ne2^2$.

-- менее минуты назад --

Я понял, Вы дальше спросите: а не может ли быть, что с какой-то более сложной гипотезой... Может, всё может. Как найдёте, так и приходите.

[provincialka]

Ну, если исправить некоторые опечатки...

Gts в сообщении #939533 писал(а):

$P(n) + P(n+1) = 1 + 2 + 3 +...+n + (n+1) = ...$

Здесь, видимо, все-таки не $P(n+1)$, а $n+1$ добавляется.
Вы доказали, что существует такое $n$, для которого $P(n)\ne n^2$. Вы это хотели доказать?