Эйлер, простые числа и математическая индукция

[Gts]

ИСН в сообщении #939536 писал(а):

Верны, но не нужны. Опровергнуть гипотезу гораздо проще, предъявив такой факт: $1+2\ne2^2$.

-- менее минуты назад --

Я понял, Вы дальше спросите: а не может ли быть, что с какой-то более сложной гипотезой... Может, всё может. Как найдёте, так и приходите.

Эммм... нет, не спрошу. Вам, видимо, кажется, что я издеваюсь над Вами, задавая одни и те же вопросы.

Просто получил я такой инструмент, как математическая индукция, и увидел я в ней... ну панацею что-ли. Универсальное средство. Мол не надо проверять теперь $1+2\ne2^2$, а достаточно применить математическую индукцию. Только не подумайте, что я стану применять её для таких простых примеров. Вот как то так...

Цитата:

Здесь, видимо, все-таки не $P(n+1)$, а $n+1$ добавляется.
Вы доказали, что существует такое $n$, для которого $P(n)\ne n^2$. Вы это хотели доказать?

Да, Вы правы, я там сделал ошибку. И да, я это и хотел доказать. :)

[ИСН]

Gts в сообщении #939549 писал(а):

Просто получил я такой инструмент, как математическая индукция, и увидел я в ней... ну панацею что-ли. Универсальное средство.

Нет, всё ОК, я так сразу и понял. Ну вот и Вы теперь поймите, что это не оно.

[provincialka]

Не могу обосновать это строго, но по ощущениям ММИ не может помочь там, где в задаче идет речь о простых числах. Потому что они распределены по натуральному ряду весьма прихотливо.

[ИСН]

Это уже соображения следующего порядка, до которых - - -

[Gts]

Цитата:

Нет, всё ОК, я так сразу и понял. Ну вот и Вы теперь поймите, что это не оно.

Да, да. :)



Всем большое спасибо за ответы и терпение. :)

[Evgenjy]

Ваше рассуждение, Gts, абсолютно правильно.Быть может не стоит это называть методом математической индукции. Но это действительно доказывает, что гипотеза не верна для всех $n$. При этом может оказаться такая интересная ситуация, что при индуктивном переходе от $n$ к $n+1$ будет показано, что гипотеза при $n+1$ не верна. Однако фактически гипотеза может быть верной при $n+1$, но это значит, что хотя бы для одного $i\leq n$ гипотеза фактически не верна.
Не знаю о возможности практического применения такого способа рассуждений, но думаю, что возможна ситуация, когда будет легче воспользоваться индукцией по Gts, чем находить контрпример.