Отображения

[ewert]

1). \hbox{$y\in f(S\cup T)\ \Leftrightarrow\ \exists x\in S\cup T:\;f(x)=y\ \Leftrightarrow\ (\exists x\in S)\lor(\exists x\in T):\;f(x)=y\ \Leftrightarrow$}

$\Leftrightarrow (y\in f(S))\lor(y\in f(T))\ \Leftrightarrow\ y\in f(S)\cup f(T).$


2). \hbox{$y\in f(S\cap T)\ \Leftrightarrow\ \exists x\in S\cap T:\;f(x)=y\ \Rightarrow\ (\exists x\in S)\land(\exists x\in T):\;f(x)=y\ \Leftrightarrow$}

$\Leftrifhtarrow (y\in f(S))\land(y\in f(T))\ \Leftrightarrow\ y\in f(S)\cap f(T).$


Разница в том, что $(\exists x\in S)\lor(\exists x\in T)\ \Leftrightarrow\ \exists x;\;(x\in S)\lor(x\in T)$, но $(\exists x\in S)\land(\exists x\in T)\ \not\Rightarrow\ \exists x;\;(x\in S)\land(x\in T)$.

-- Вс фев 03, 2013 14:42:27 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #679506 писал(а):

там и требовалось привести пример, что равенство не всегда выполняется

$S$ и $T$ могут вообще не пересекаться, но это ещё не означает, что не пересекаются их образы -- отображение ведь не обязано быть взаимно однозначным.

[Nikolai Moskvitin]

ewert в сообщении #679507 писал(а):

$S$ и $T$ могут вообще не пересекаться, но это ещё не означает, что не пересекаются их образы -- отображение ведь не обязано быть взаимно однозначным.

Я просто ещё предположил, что образы равны....тогда правда отображение не будет инъективным.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679516 писал(а):

тогда правда отображение не будет инъективным.

И?

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #679520 писал(а):

И?

Не будет биективным :), а значит, будет сюрьективным... или вообще такое невозможно.

-- 03.02.2013, 14:36 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #679506 писал(а):

Заметил не сразу знак "принадлежит" в определении прообраза. Вроде знаю, что в таких случаях (когда множество является подмножеством другого множества) лучше писать знак включения. Это играет существенную роль?

Прошу прощения! Я всё ещё путаю множество образов и один образ.

[Joker_vD]

Отображения бывают:

1) Неинъективные несюръективные: например, $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, действующее по правилу $f(x)=|x|$;

2) Инъективные несюръективные: например, $g\colon\mathbb N\to\mathbb N$, действующее по правилу $g(x)=x+1$;

3) Неинъективные сюръективные: например, $h\colon\mathbb R\to[-1;1]$, действующее по правилу $h(x)=\sin x$;

4) Инъективные сюръективные: например, $k\colon\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)\to\mathbb R$, действующее по правилу $k(x)=\tg x$.

Инъективные сюръективные отображения еще для краткости называют "биективными". Для произвольного отображения самый типичный случай — первый. Когда нету ни инъективности, ни сюръективности.

[Nikolai Moskvitin]

Посмотрите пожалуйста, как я пытался решать дальше:

"5. Пусть $f:X\rightarrow{Y}$- отображение и $b=f(a)$ для некоторого $a\in{X}$. Прообраз $f^{-1}(b)=f^{-1}(f(a))={x|f(x)=f(a)}$ иногда ещё называют слоем над элементом $b\in{Imf}$. Показать, что всё множество $X$ является объединением непересекающихся слоёв (разбиение множества $X$)..."
Первое, что я заметил, это то, что отображение является инъективным. Для взаимооднозначного отображения из того что элементы множества прообразов не пересекаются будет следовать, что не пересекаются их прообразы. Это можно вывести на основе задания 3, которое было разобрано в этой теме, а именно: $f(S\bigcap{T})\subset{f(S)\bigcap{f(T)}}$; известно также, что операция пересечения ассоциативна, поэтому можно обобщить для всех элементов. Обратное также верно.
Следовательно, осталось доказать для инъективного несюрьективного отображения. Собственно говоря, это уже было в той или иной мере обосновано: если прообразы не пересекаются при инъективном отображении, то и их образы не пересекаются (1). Обратное также верно. Я это обосновал примерно так: если $S\neq{T}$, то $f(S)\neq{f(T)}$, $f(S\bigcap{T})=f(M)$), где $M$-подмножество, являющееся пересечением $S$ и $T$. Тогда $S\bigcap{T}\neq{f(S\bigcap{T})}$ и поэтому возможно $S\bigcap{T}\subset{f(S)\bigcap{f(T)}}$, равенство возможно только в случае пустого множества. Как обосновать обратное?
...Таким образом, свойство (1) присуще отображению, являющемуся инъективным.

[AV_77]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679973 писал(а):

Первое, что я заметил, это то, что отображение является инъективным.

Это не обязательно.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #679973 писал(а):

Первое, что я заметил, это то, что отображение является инъективным.

$f$? Почему? Откуда?

Вы вообще как-то не туда все время идете. Берем $x\in X$. Он принадлежит слою над элементом $f(x)$. Значит, все $X$ можно представить как объединение (возможно, пересекающихся) слоев.

Пусть слой над $b$ и слой над $c$ пересекаются: т.е. есть элемент $x\in f^{-1}(b)\cap f^{-1}(c)$... продолжите.

[kw_artem]

Если в задаче на решение/доказательство говориться "..пусть дано некоторое отображение $f$...", но ничего не говорится про характер этого отображения (т.е. что оно инъективно или сюръективно и т.п.), то значит , что доказываемое Вами свойство не зависит от характера этого отображения. Т.е. в вашей задаче отображение может быть каким угодно, это не важно, не суть.

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #679989 писал(а):

$x\in f^{-1}(b)\cap f^{-1}(c)$... продолжите.

$=f^{-1}(f(a))\cap{f^{-1}}(f(d))\neq{\oslash}$ Но что делать дальше? Ведь нельзя же из того, что прообразы пересекаются выводить, что образы пересекаются? В задании даже предупреждают, чтобы я не путал прообраз и обратное отображение.

[AV_77]

Если $x \in f^{-1}(b)$, то $f(x) = \ldots$ Аналогично, если $x \in f^{-1}(c)$, то $f(x) = \ldots$ И что из этого следует.

[Nikolai Moskvitin]

Всё! Из этого следует, что $f(b)\cap{f(c)}$, даже более того, $f(b)=f(c)$. Значит, пересекающиеся слои на самом деле образуют один слой. Как обобщить на много элементов, я понимаю- просто это верно для любых двух слоёв.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #680029 писал(а):

Значит, пересекающиеся слои на самом деле образуют один слой. Как обобщить на много элементов,

А это не требуется. Вы показали, что если слои пересекаются, то они совпадают. Значит, если вы возьмете два слоя, они либо совпадают, либо не пересекаются. Все.

[Fass]

Joker_vD в сообщении #679562 писал(а):

Отображения бывают:

1) Неинъективные несюръективные: например, $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, действующее по правилу $f(x)=|x|$;
.

А если заменить область значений на $\mathbb{N}$ c нулем, то отображение станет сюръективным?

[mihailm]

Да, согласно определению.
P.S. Хотя нет, это вообще не будет корректно определенным отображением