Алгебра Дирака

[Dr.Plank]

Добрый день!
При чтении учебника по квантовой теории поля (Пескин М., Шредер Д. "Введение в квантовую теорию поля")
требовалось вычислить след по спиновым индексам от выражения:
$\operatorname{tr}[($\rlap{\(/\)}p$'-m)\gamma^\mu($\rlap{\(/\)}p$+m)\gamma^\nu]$,
чтобы получить
$4[p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-g^\mu^\nu(p\cdot p'+m^2)]$
Могли бы вы подсказать, какие формулы нужно использовать для данного преобразования, или продемонстрировать вычисления?
Заранее спасибо!

[propagator]

$\left\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right\} = 2 g^{\mu \nu}$
$\rlap{\(/\)}a = a^{\mu} \gamma_{\mu}$
Свойства операции trace.

[Dr.Plank]

Пользуясь только этими формулами,
я смогу совершить данное преобразование?

[propagator]

Dr.Plank в сообщении #939213 писал(а):

Пользуясь только этими формулами,
я смогу совершить данное преобразование?

ну, конечно, некоторое представление $\gamma$-матриц подразумевается, я его не выписывал, а так да. Возможно, правда, потребуется прорешать пару вспомогательных задач.

[Dr.Plank]

Спасибо за помощь!

-- 02.12.2014, 20:49 --

Возникли сложности.Могли бы вы для полной ясности привести вычисление данного выражения?

[propagator]

Dr.Plank в сообщении #939221 писал(а):

Возникли сложности.Могли бы вы для полной ясности привести вычисление данного выражения?

Заглянул в книгу Пескина и Шрёдера, они там вообще дают готовую формулу:
$\operatorname{tr}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}) = 4 (g^{\mu \nu} g^{\rho \sigma} - g^{\mu \rho} g^{\nu \sigma} + g^{\mu \sigma} g^{\nu \rho})$
так что остается только подставить и посчитать.
Т.к. здесь решения выкладывать не принято, а вы свои попытки не написали, навскидку угадаю где вы можете ошибаться/что забыли:

• Путаете индексы. Допустим, в следе уже есть $\gamma^{\mu}$, а вы пишите $\rlap{\(/\)}p = \gamma^{\mu} p_{\mu}$
  
• $p_{\alpha}$ --- числа, их можно (и нужно) выносить за пределы $\operatorname{tr}[]$
  
• След произведения нечетного числа $\gamma$-матриц есть нуль (придется доказать, потому что когда будете раскрывать скобки, такой член у вас появится)
  
• $\operatorname{tr}[\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}] = 4g^{\mu \nu} $ (докажите)

[Dr.Plank]

При попытке решить данное выражение, я предположил что:
$\rlap{\(/\)}p'$=p$'$^\mu\gamma_{\mu}
и
$\rlap{\(/\)}p$=p^{\nu}\gamma_{\nu}.
Потом умножил первые скобки на $\gamma^{\mu}$:
$(p'^\mu\gamma_{\mu}-m)\cdot\gamma^\mu=(p'^\mu\gamma_{\mu}\gamma^\mu-m\gamma^\mu)$,
(надо ли на данном этапе вычислений воспользоваться тождеством:$\gamma_\mu\gamma^\mu=4$?)
и вторые на $\gamma^{\nu}$:
$(p^\nu\gamma_{\nu}+m)\cdot\gamma^\nu=(p^\nu\gamma_{\nu}\gamma^\nu+m\gamma^\nu)$,
потом эти скобки перемножил (при умножении я учел, что произведение нечетных матриц дает ноль),
и у меня получилось:
$\operatorname{tr}[p'^\mu\gamma_{\mu}\gamma^\mu p^\nu\gamma_{\nu}\gamma^\nu]-g^\mu^\nu m^2$,
учитывая ответ:
$4[p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-g^\mu^\nu(p\cdot p'+m^2)]$
у меня должно получиться из:
$\operatorname{tr}[p'^\mu\gamma_{\mu}\gamma^\mu p^\nu\gamma_{\nu}\gamma^\nu]$
это:
$4[p'^\mu p^\nu+p'^\nu p^\mu-g^\mu^\nu p\cdot p']$.
Насколько я понимаю,я где то допустил серьезную ошибку?

[propagator]

Dr.Plank в сообщении #939671 писал(а):

При попытке решить данное выражение, я предположил что:
$\rlap{\(/\)}p'=p'^{\mu}\gamma_{\mu}$
и
$\rlap{\(/\)}p=p^{\nu}\gamma_{\nu}$.

Как я писал выше, нужно быть осторожными с индексами. Нельзя в качестве немых индексов (dummy indices) выбирать те символы, которые уже заняты в качестве свободных (free indices).

Dr.Plank в сообщении #939671 писал(а):

надо ли на данном этапе вычислений воспользоваться тождеством:$\gamma_\mu\gamma^\mu=4$?

нельзя, потому что один из этих индексов свободный, а второй --- немой, который вы неправомерно свертываете со свободным.

Перепишите исходное выражение так:
$\operatorname{tr}[(\gamma^{\alpha}p'_{\alpha}-m)\gamma^{\mu}(\gamma^{\beta}p_{\beta}+m)\gamma^{\nu}]$
раскройте скобки, воспользуйтесь данным в книге соотношением для следа из произведения четырех матриц, а также соотношением для следа из двух матриц, которое я написал выше.

[Dr.Plank]

Благодарю!Вычисления сошлись!