Правомерность замены суммы интегралом,расхождение результата

[e2e4]

Здравствуйте!

В процессе решения сугубо практической задачи получилась такая конструкция:

$(1-\frac{1}{k})^{-x}\sum\limits_{i=0}^x (1-\frac{1}{k})^i$, k - параметр, const.

Дальше логично, как мне показалось, записать интеграл следующего вида:
$(1-\frac{1}{k})^{-x}\int_{0}^x (1-\frac{1}{k})^idi$

Найдя указанный интеграл, и построив графики обоих функций (с суммой и с интегралом) в MathCad'е, я был удивлен полученным результатам:
1. После интегрирования ф-ия потеряла смысл при k=(0...1]. Там возникает логарифм выражения $(1-\frac{1}{k})$;
2. При положительном k графики ф-ий в области отрицательных x находятся по разную сторону оси OX (зеркально);
3. При отрицательных k графики ф-ий в области положительных x находятся по разную сторону оси OX (зеркально);
4. И главное, что не дает применить результат решения к практической задаче - при положительных k в области положительных x (и при отрицательных k в области отрицательных x) графики ф-ий немного, но расходятся! Т.е. ф-ия с интегралом является не просто "усреднением"(плавной линией) ф-ии с суммой, а постоянно лежит ниже ее!

Если пп.1-3 я могу объяснить тем, что надо записать выражение под знаком интеграла по модулю (хотя, откуда берется модель - непонимаю), то п.4 остается для меня загадкой.

Помогите разобраться, пожалуйста!

[PAV]

А почему не считать это выражение по формулам суммы геометрической прогрессии?

Добавлено спустя 12 минут 13 секунд:

Показательная функция $a^x$ при произвольном вещественном $x$ определена только при $a>0$, тогда как возведение в натуральную степень $a^n$ естественным образом определяется при любых значениях $a$

[e2e4]

PAV писал(а):

А почему не считать это выражение по формулам суммы геометрической прогрессии?

Дело в том, что под знаком суммы в общем случае стоит $y(i)*(1-\frac{1}{k})^i$, где $y(i)=A_1*sin(Wi+phi_1)+A_2*sin(2Wi+phi_2)+....$. Но в принципе, для некоторых частных случаев, y(i) могут отличаться от указанного, вплоть до y(i) = 1, что я и привел. Вопрос в другом - что я не понимаю в интегралах?
Просто не ожидал расхождения графиков ф-ий с суммой и интегралом.

[PAV]

А по поводу пункта 4 - тут нет ничего удивительного. На каком основании Вы просто "заменяете сумму интегралом"? Распишите интеграл как сумму интегралов на отрезках от 0 до 1, от 1 до 2 и так далее. Поскольку $1-\frac{1}{k}<1$, то чтобы увеличить выражение, нужно уменьшить показатель степени. Т.е. если в первом интеграле заменить $(1-\frac{1}{k})^i$ на $(...)^0$, во втором - на $(...)^1$ и так далее, то весь интеграл будет оценен сверху. Но при этом Вы получаете почти ту же самую сумму, которая Вам нужна, только без последнего слагаемого. Так что сумма будет еще больше и тут нет ничего удивительного.

[e2e4]

PAV писал(а):

На каком основании Вы просто "заменяете сумму интегралом"? Распишите интеграл как сумму интегралов на отрезках от 0 до 1, от 1 до 2 и так далее.

Видите ли, как раз с обоснованностью этой замены у меня и возникает вопрос. А почему Вы считаете, что данная замена неправомерна? Мне казалось, что интегрирование должно просто сгладить, т.е. усреднить на каждом интервале от i до i+1 значение ф-ии.

Другое дело, что переход от дискретной i к непрерывной слабо осмысливается с точки зрения условия решаемой задачи, но это уже другой вопрос.

Если хотите, приведу задачу в изначальном виде, но этого пока не очень хочется делать - она до конца не решена, и хотелось бы прежде всего осмыслить полученные результаты самостоятельно. При достаточно больших k (k>10) совпадение с практическими результатами хорошее. Но в области малых k, особенно k=1 фигня получается, что немного расстраивает.

Добавлено спустя 9 минут 32 секунды:

PAV писал(а):

Распишите интеграл как сумму интегралов на отрезках ... Но при этом Вы получаете почти ту же самую сумму, которая Вам нужна, только без последнего слагаемого. Так что сумма будет еще больше и тут нет ничего удивительного.

Не очень понял Ваше объяснение, смущает то, что Вы предлагаете заменить, например, для отрезка 0..1 $\int_0^1f(i)di$ на $\int_0^1f(0)di$, но в любом случае - возникает вопрос - что необходимо сделать для того, чтобы, учесть "последнее слагаемое"?

[PAV]

Если мы на каждом отрезке интегрирования заменим минимальное значение аргумента на максимальное, то получим оценку в другую сторону, но при этом потеряется первое слагаемое суммы, равное 1. Так что можно утверждать, что истинное значение суммы лежит между значением интеграла и этим же значением, увеличенным на 1.

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

А вообще поищите, как доказывается приближенная формула Стирлинга для факториала. По-моему там похожая техника используется с заменой суммирования на интегрирование.

[Someone]

Или доказательство интегрального признака сходимости числовых рядов. Там хорошо видно, откуда берутся неравенства.

[e2e4]

Уважаемые PAV, Someone, спасибо - разобрался!

[e2e4]

Т.е. разобраться-то почему так получается, разобрался. Но остается вопрос - что делать?

Экспериментируя в MathCAD'е, с подсказки PAV'а, пришел к выводу, что
$(1-\frac{1}{k})^{-x}\sum\limits_{i=0}^x (1-\frac{1}{k})^i = (1-\frac{1}{k})^{-x}\int\limits_{0+f_1(k)}^{x+f_2(k)} (1-\frac{1}{k})^idi$.

Подскажите, пожалуйста, три вещи:
1. Верно ли я поставил знак равенства, т.е. действительно ли существуют такие ф-ии $f_1(k)$ и $f_2(k)$, для которых записанное равенство верное при целых x?
2. Возможно ли, что $f_1(k) \equiv 0$?
3. Какие есть пути для аналитического нахождения указанных ф-ий?

[Brukvalub]

Вы хотите добиться равенства

\[ \sum\limits_{i = o}^x {a^i } \; = \int\limits_0^{f(k)} {a^t } dt \]

Это возможно, поскольку функция

\[ F(x) = \int\limits_0^x {a^t } dt \]

является на неотрицательном луче непрерывной, строго возрастающей от нуля до бесконечности функцией, и поэтому она принимает на неотрицательном луче все неотрицательные значения.

e2e4 писал(а):

3. Какие есть пути для аналитического нахождения указанных ф-ий?

Думаю, что найти верхний предел интегрирования не легче, чем непосредственно просуммировать Вашу сумму.

[e2e4]

Brukvalub писал(а):

Вы хотите добиться равенства $ \sum\limits_{i = o}^x {a^i } \; = \int\limits_0^{f(k)} {a^t } dt $

Уточнение:
$ \sum\limits_{i = o}^x {(a(k))^i } \; = \int\limits_0^{x + f(k)} {(a(k))^t } dt $

Brukvalub писал(а):

Это возможно, поскольку функция$ F(x) = \int\limits_0^x {a^t } dt $является на неотрицательном луче непрерывной, строго возрастающей от нуля до бесконечности функцией, и поэтому она принимает на неотрицательном луче все неотрицательные значения.

Чуть выше я написал, что практический смысл имеет выражение $ F(x) = \int\limits_0^{x+f(k)} {sin(Wt)*(a(k))^t } dt $
В общем-то я привел упрощенное выражение из-за того, что уже на нем проявляется расхождение интеграла и суммы.

Brukvalub писал(а):

Думаю, что найти верхний предел интегрирования не легче, чем непосредственно просуммировать Вашу сумму.

А все-таки? Может быть, Вы видите какой-то путь нахождения ф-ии f(k)?

[Henrylee]

e2e4 писал(а):

$ \sum\limits_{i = o}^x {(a(k))^i } \; = \int\limits_0^{x + f(k)} {(a(k))^t } dt $
...
Может быть, Вы видите какой-то путь нахождения ф-ии f(k)?

В этом случае $f(k)$ можно просто выразить через $a(k)$ и $x$. Получится что-то вроде

$$ f(k,x)=\frac{1}{\ln a(k)}\ln\left[\frac{a(k)^{-x}-a(k)}{1-a(k)}\ln a(k)+a(k)^{-x}\right] $$

Во-первых от $x$ будет зависеть, во-вторых, для Вашей исходной суммы уже не годится.

[e2e4]

Henrylee писал(а):

e2e4 писал(а):

$ \sum\limits_{i = o}^x {(a(k))^i } \; = \int\limits_0^{x + f(k)} {(a(k))^t } dt $
...
Может быть, Вы видите какой-то путь нахождения ф-ии f(k)?

В этом случае $f(k)$ можно просто выразить через $a(k)$ и $x$. Получится что-то вроде

$$ f(k,x)=\frac{1}{\ln a(k)}\ln\left[\frac{a(k)^{-x}-a(k)}{1-a(k)}\ln a(k)+a(k)^{-x}\right] $$

Во-первых от $x$ будет зависеть, во-вторых, для Вашей исходной суммы уже не годится.

Прекрасно работает Ваша f(k,x). Не поделитесь методом ее получения, авось что-нибудь и со своей исходной суммой придумаю...

Добавлено спустя 4 минуты 43 секунды:

Вы видимо выражали последний член суммы (тот член, который как раз и не учитывается при интегрировании)?

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 36 секунд:

Или использовали формулу суммы геом. прогрессии, и вычли из нее интеграл?

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Уточнение:
$ \sum\limits_{i = o}^x {(a(k))^i } \; = \int\limits_0^{x + f(k)} {(a(k))^t } dt $

Там у меня была опечатка: верхний предел интеграла предполагался в виде f(x).

e2e4 писал(а):

Или использовали формулу суммы геом. прогрессии, и вычли из нее интеграл?

Естественно, именно так Henrylee и получил значение предела интегрирования. Я же писал:

Brukvalub писал(а):

Думаю, что найти верхний предел интегрирования не легче, чем непосредственно просуммировать Вашу сумму.

подразумевая случай именно Вашей, более сложной суммы. Для нее такой фокус не пройдёт.

[e2e4]

Ну чтож, если не могу найти точное значение - буду пока работать с приближенным. Т.к. $a(k) = 1-\frac{1}{k}$, при достаточно больших k (а это - рабочая область) ошибка должна быть достаточно малой, что и подтверждается моделированием.

Спасибо!