2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система дифф. уравнений
Сообщение30.11.2014, 21:57 


14/11/13
244
Требуется выписать решение задачи Коши с произвольными начальными данными $u(0) = \alpha$, $v(0) = \beta$ для системы дифф. уравнений. Выписать также матричную экспоненту $e^{xA}$, где $A$ — матрица указанной системы.
$$\begin{cases}
u'=u-v\\
v'=-u+v\\
\end{cases}
$$

Нашёл общее решение системы:
$\begin{cases}
u(x)=c_1+c_2e^{2x}\\
v(x)=c_1-c_2e^{2x}\\
\end{cases}$
Тогда находим решение з. Коши, как:
$\begin{cases}
u(0)=c_1+c_2=\alpha\\
v(0)=c_1-c_2=\beta\\
\end{cases}$
Получаем $c_1 = \frac{\alpha+\beta}{2}$, $c_2 = \frac{\alpha-\beta}{2}$
Теперь требуется вычислить матричную экспоненту:
$e^{xA}=E+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k A^k}{k!}$
Подскажите, пожалуйста, как поступать дальше? Стоит как-то вычислять этот ряд или есть другой способ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений
Сообщение01.12.2014, 01:36 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Естественно, каждый такой ряд сходится к некоторой матрице, причём общее решение задачи Коши связано с матрицей следующим образом:
$$x(t)=C_1e_1^{At}+C_2e_2^{At}, $$
где $e^{At}_i$ -- $i$-й столбец матрицы. Короче говоря, дальше матрицу можно не искать, она уже почти выписана.

-- 01.12.2014, 01:41 --

Только обычно делают наоборот, сначала находят матрицу, а потом решают задачу Коши, очень повезло, что система 2 на 2 решается очень просто, в других случаях нужно использовать многочлен Лагранжа-Сильвестра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений
Сообщение01.12.2014, 02:15 


14/11/13
244
cool.phenon в сообщении #938599 писал(а):
Естественно, каждый такой ряд сходится к некоторой матрице, причём общее решение задачи Коши связано с матрицей следующим образом:
$$x(t)=C_1e_1^{At}+C_2e_2^{At}, $$
где $e^{At}_i$ -- $i$-й столбец матрицы. Короче говоря, дальше матрицу можно не искать, она уже почти выписана.

-- 01.12.2014, 01:41 --

Только обычно делают наоборот, сначала находят матрицу, а потом решают задачу Коши, очень повезло, что система 2 на 2 решается очень просто, в других случаях нужно использовать многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Ясно, то есть в нашем случае получается матричной экспонентой будет просто матрица $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{pmatrix}$$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений
Сообщение01.12.2014, 09:04 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений
Сообщение01.12.2014, 17:57 


14/11/13
244
cool.phenon
Да, про $e$ забыл...
Получается у нас $x(t)=C_1e^{0x}\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}+C_2 e^{2x}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix} \Rightarrow x(t)=C_1\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}+C_2 \begin{pmatrix}
e^{2x} \\
-e^{2x} \\
\end{pmatrix} $

И получается матричной экспонентой будет $\begin{pmatrix}
1 & e^{2x} \\
1 & -e^{2x} \\
\end{pmatrix}$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифф. уравнений
Сообщение01.12.2014, 19:13 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Теперь все верно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group